Trigonométrie - Étude et étude du triangle dont seulement les trois côtés sont connus - Formules de calculs, algorithmes puis calculateur des données sont créés par Dr Aly ABBARA

Introduisez les valeurs des trois côtés d'un triangle (ABC) afin d'effectuer une étude métrique élargie concernant ses principales données et caractéristiques

Côté AB :	Côté AC :	Côté BC :

* Angle Z1 du triangle (ABC)

• cos(Z1)

• sin(Z1)

• tan(Z1)

* Angle Z2 du triangle (ABC)

• cos(Z2)

• sin(Z2)

• tan(Z2)

* Angle Z3 du triangle (ABC)

• cos(Z3)

• sin(Z3)

• tan(Z3)

• Hauteur 1 (CD)

• Périmètre du triangle ABC

• Hauteur 2 (AE)

• Surface du triangle ABC

• Hauteur 3 (BF)

• Côté (AB) * Côté (AC) * Côté (BC)

• Segment (AD)

• (AB) / (AC)		• (AB) / BC)

• Segment (DB)

• (AC) / (BC)

Le cercle circonscrit au triangle (ABC) et le cercle inscrit dans le triangle (ABC)

Cercle circonscrit au triangle ABC (Rc)

Cercle inscrit dans triangle ABC (Ri)

Le centre de ce cercle est le point de concours des
médiatrices (axes) du triangle ABC

Le centre de ce cercle est le point de concours des
bissectrices du triangle ABC

• Rayon du cercle circonscrit

• Rayon du du cercle inscrit

• Diamètre du cercle circonscrit

• Diamètre du cercle inscrit

• Périmètre du cercle circonscrit

• Périmètre du cercle inscrit

• Surface du cercle circonscrit

• Surface du cercle inscrit

• Rayon du cercle circonscrit au triangle (ABC) ÷ Rayon du cercle inscrit dans le triangle ABC	=
• Rayon du cercle circonscrit au triangle (ABC) × Rayon du cercle inscrit dans le triangle ABC	=
• Rayon du cercle circonscrit au triangle (ABC) + Rayon du cercle inscrit dans le triangle ABC	=
• Rayon du cercle circonscrit au triangle (ABC) − Rayon du cercle inscrit dans le triangle ABC	=
• sin(Z1) + sin(Z2) + sin(Z3) dans le triangle (ABC)	=
• cos(Z1/2) × cos(Z2/2) × cos(Z3/2) dans le triangle (ABC)	=
• Dans tout triangle △-(ABC) ⇒ {[sin(Z1)+sin(Z2)+sin(Z3)] / [cos(Z1/2)×cos(Z2/2)×cos(Z3/2)]}	= Constante trigonométrique = 4
• sin(2Z1) + sin(2Z2) + sin(2Z3) dans le triangle (ABC)	=
• sin(Z1) × sin(Z2) × sin(Z3) dans le triangle (ABC)	=
• Dans tout triangle △-(ABC) ⇒ {[sin(2Z1)+sin(2Z2)+sin(2Z3)] / [sin(Z1)×sin(Z2)×sin(Z3)]}	= Constante trigonométrique = 4

Différents rapports entre les cercles circonscrit et inscrit du triangle (ABC) et ses paramètres

• Surface du cercle circonscrit / Surface du triangle ABC	•
• Périmètre du cercle circonscrit / périmètre du triangle ABC	•
• Périmètre du triangle ABC / périmètre du cercle inscrit du triangle ABC	•
• Rayon du cercle circonscrit / Rayon du cercle inscrit) du triangle ABC	•
• Périmètre du cercle circonscrit / Périmètre du cercle inscrit) du triangle ABC	•
• Surface du cercle circonscrit / Surface du cercle inscrit dans le triangle ABC	•
• Surface du triangle ABC / surface du cercle inscrit dans le triangle ABC	•

Le triangle orthique (DEF) inscrit dans le triangle (ABC) - Étude métrique

* Le triangle orthique d'un triangle ABC est un triangle dont les sommets sont les pieds de hauteur du triangle ABC. Il s'agit du plus petit triangle pouvant être inscrit dans un triangle acutangle (aux angles aigus). Les hauteurs du triangle ABC sont les bissectrices des angles orthique.
Le cercle circonscrit au triangle orthique est connu sous le nom du cercle remarquable d'Euler (cercle des neuf points) qui passe par les sommets du triangle orthique (les pieds des hauteurs du triangle ABC), puis par les pieds des médianes et des médiatrices du triangle (ABC), également par les milieux des segment AH, BH et CH (H est l'orthocentre du triangle ABC, c'est-à-dire le point de concours des trois hauteurs du triangle ABC). Enfin, le cercle d'Euler passe les trois points de croisement des hauteurs du triangle ABC avec les trois médiatrices du triangle orthique (DEF). Le centre du cercle d'Euler (w) se situe la droite d'Euler qui passe par le point (H), ou l'orthocentre du triangle (ABC) et par le point (O), ou centre du cercle circonscrit au triangle (ABC) avec la particularité que le centre du cercle d’Euler (point w) se situe au milieu du segment HO.

* Exemple d'un triangle orthique : le triangle (ABC) est le triangle orthique du triangle (I_aI_dI_c) dont les sommets sont les centres des cercles exinscrit au triangle (ABC) et dans ce cas là, le cercle circonscrit au triangle (ABC) est le cercle d'Euler-Feuerbach (cercle des neuf points) du triangle (I_aI_dI_c).

Le triangle orthique du trianngle ACB et le cercle d'Euleur

• Côté (DF) du triangle DEF

• Périmètre du triangle orthique DEF

• Côté (DE) du triangle DEF

• Surface du triangle orthique DEF

• Côté (EF) du triangle DEF

• Rayon du cercle circonscrit au triangle DEF (d'Euler)

• Angle (FDE) du triangle DEF

• Rapport du rayon du cercle circonscrit au triangle ABC / rayon du cercle circonscrit d'Euler au triangle orthique DEF =

• Angle (DFE) du triangle DEF

• Angle (DEF) du triangle DEF

Le « Cercle de Taylor (Brook - 1685 - 1731) » et l'« Hexagone de Catalan - Eugène Charles 1814 - 1894 » d'un
triangle acutangle (ABC)
Les sommets de cet hexagone sont les projections des pieds des hauteurs d’un triangle acutangle (ABC) sur ses côtés ; le cercle dans lequel cet hexagone
est inscriptible est appelé le « cercle de Taylor »
Il s'agit d'une figue géométrique très riche dans sa composition avec des particularités trigonométriques remarquables

Les hauteurs d'un triangle (ABC) et les perpendiculaires issues des pieds de ces hauteurs sur les côtés du triangle (ABC)

• Hauteur (Aa₁)	• Perpendiculaire (a₁a₂) sur (AB)	• Perpendiculaire (a₁a₃) sur (AC)
• Hauteur (Bb₁)	• Perpendiculaire (b₁b₂) sur (AB)	• Perpendiculaire (b₁b₃) sur (BC)
• Hauteur (Cc₁)	• Perpendiculaire (c₁c₂) sur (AC)	• Perpendiculaire (c₁c₃) sur (BC)

Position angulaire et linéaire de l'orthocentre (point H) du triangle (ABC) par rapport à ses côtés et ses sommets

• Segment (AH)	• Segment (BH)	• Segment (CH)
• Segment (Ha₁)	• Segment (Hb₁)	• Segment (Hc₁)

• Angle (ABH)	• Angle (BAH)	• Angle (AHB)
• Angle (ACH)	• Angle (CAH)	• Angle (AHC)
• Angle (CBH)	• Angle (BCH)	• Angle (BHC)

Segmentation des côtés du triangle (ABC) par les pieds (a₁, b₁ et c₁) des hauteurs issues de ses sommets

• Segmentation du côté (BC)	• Segment (Ba₁)	• Segment (Ca₁)
• Segmentation du côté (AC)	• Segment (Ab₁)	• Segment (Cb₁)
• Segmentation du côté (AB)	• Segment (Ac₁)	• Segment (Bc₁)

Segmentation des côtés (AB), (AC) et (BC) du triangle (ABC) par les progections perpendiculaires partant des pieds des hauteurs (Aa₁, Bb₁ et Cc₁) sur ces côtés

• Segment (Ab₂)	• Segment (Ac₂)
• Segment (Ba₂)	• Segment (Bc₃)
• Segment (Ca₃)	• Segment (Cb₃)
• Segment (Cc₃)	• Segment (Cc₂)
• Segment (Bb₂)	• Segment (Bb₃)
• Segment (Aa₂)	• Segment (Aa₃)

• Segment (b₂a₂) de (AB)	• Segment (c₂a₃) de (AC)	• Segment (b₃c₃) de (BC)

• Segment (a₂c₃)	• Segment (b₂c₃)
• Angle (Ba2c₃)	• Angle (b₃a2c₃)





• Rayon du cercle de Taylor dont le centre est le point (T) = • Ce cercle passe par six points situés sur les trois côtés (AB), (AC) et (BC) d'un triangle acutangle (ABC) : (a₂ et b₂) sur le côté (AB) ; (a₃ et c₂) sur le côté (AC) et (b₃ et c₃) sur le côté (BC), cela signifie que les points (a₂, b₂, c₂, a₃, b₃ et c₃) sont cocyliques sur le cercle de Taylor. Les points (a₂, a₃, b₂, b₃, c₂ et c₃) sont également les pieds des six perpendiculaires [(a₁a₂), (a₁a₃), (b₁b₂), (b1b3), (c₁c₂) et (c₁c₃)]. Les six points (a2, b2, c2, a3, b3 et c3) sont les sommets d'un hexagone appelé l' « Hexagone de Catalan - Eugène Charles 1814 - 1894 » inscriptible dans le « Cercle de Taylor (Brook - 1685 - 1731) ».

Les trois segments [(a₂a3), (b₂b₃) et (c₂c₃)] sont des cordes isométriques dans le cercle de Taylor * C'est trois cordes créent la possibilité de diviser d'hexagone de Catalan en six quadrilatères cycliques (inscriptibles) dans le cercle de Taylor, il s'agit des quadrilatères : (a₂a₃b₃c₃), (a₂a₃c₂b₂), (b₂b₃a₃c₂), (b₂b₃c₃a₂), (c₂c₃b₃a₃) et (c₂c₃a₂b₂). * Les trois cordes [(a₂a₃), (b₂b₃) et (c₂c₃)] se croisent en trois points (K,L,M). Plus loin (dans cette page) on prouve que le point (K) se situe au milieu du côté (b₁c₁) du triangle orthique (a₁b₁c₁) ; le point (L) est au milieu du côté (a₁c₁) et le point (M) est au milieu du côté (a₁b₁) de ce même triangle orthique (a₁b₁c₁). * On peut remarquer que le point (K) est le centre du cercle dans lequel est inscrit le quadrilaère cyclique (b₁c₂b₂c₁) ; le point (L) est le centre du cercle dans lequel est inscrit le quadrilaère cyclique (a₁c₁a₂c₃) et enfin, le point (M) est le centre du cercle dans lequel est inscrit le quadrilaère cyclique (a₁b₁a₃b₃).

• Segment (corde) (a₂a₃)	• Segment (corde) (b₂b₃)	• Segment (corde) (c₂c₃)





Position du point (T) ou le centre du cercle de Taylor par rapport aux côtés et aux sommets du triangle (ABC) Les points (T₁, T₂ et T₃) sont les pieds des trois perpendiculaires projetées respectivement de (T) sur les les côtés (BC), (AC) et (AB)



• Hauteur (TT₃)	• Hauteur (TT₁)	• Hauteur (TT₂)
• Segment (AT₁)	• Segment (BT₁)	• Segment (CT₂)
• Segment (AT)	• Segment (BT)	• Segment (CT)

• Angle (TAB)	• Angle (TBA)	• Angle (ATB)
• Angle (TAC)	• Angle (TCA)	• Angle (ATC)
• Angle (TBC)	• Angle (TCB)	• Angle (BTC)

• Angle (HBT)	• Segment (HT)

• Angle (b₃Tc₃)	• Angle (b₃c3T) = (c₃b3T)
• Angle (a₂Tb₂)	• Angle (b₂a2T) = (a₂b2T)
• Angle (a₃Tc₂)	• Angle (Ta3c₂) = (Tc2a₃)

Le triangle orthique (a₁b₁c₁) d'un triangle (ABC)



• Côté (a₁c₁)	• Côté (a₁b₁)	• Côté (b₁c₁)
• Angle (b₁a1c₁)	• Angle (a₁b1c₁)	• Angle (a₁c1b₁)

• Angle (Aa1b₁) = 1/2 (b₁a1c₁)	• Angle (Bb1c₁) = 1/2 (a₁b1c₁)	• Angle (Cc1a₁) = 1/2 (a₁c1b₁)

On conclut que les hauteurs [(Aa₁), (Bb₁) et (Cc₁)] d'un triangle (ABC) sont les bissectrices angulaires des sommets du triangle orthique (a₁b₁c₁)

• Périmètre du triangle orthique (a₁b₁c₁)	= Longueur du segment (S₂S₅)
• Surface du triangle orthique (a₁b₁c₁)

• Angle (Ba1a₂)	• Angle (Ca1a₃)

• Angle (Aa2a₃)	• Angle (Ac1b₁)
• Angle (Aa2a₃) = Angle (Ac1b₁) ⇒ Le segement (b₁c₁) est parallèle (//) au segment (a₂a₃)



	Le triangle (a₁a₂a₃)

• Angle (a₂a1a₃)	• Angle (a₁a2a₃)	• Angle (a₁a3a₂)
• Côté (a1a2)	• Côté (a2a3)	• Côté (a1a3)

• Périmètre du triangle (a₁a₂a₃)
• Surface du triangle (a₁a₂a₃)

	Le triangle (a₁a₂L)

• Côté (a1L)	= 1/2 du côté (a₁c₁) du triangle orthique (a₁b₁c₁), donc le point (L) est au milieu de (a₁c₁)
• Côté (a2L)	• Côté (a₁a₂)
• Angle (a₁La₂)	• Angle (a₂a1L)	• Angle (a₁a2L)

• Périmètre du triangle (a₁a₂L)	• Surface du triangle (a₁a₂L)

	Le triangle (a₁a₃M)

• Côté (a1M)	= 1/2 du côté (a₁b₁) du triangle orthique (a₁b₁c₁), donc le point (M) est au milieu de (a₁b₁)
• Côté (a3M)	• Côté (a₁a₃)
• Côté (LM)	= 1/2 du côté (b₁c₁) du triangle orthique (a₁b₁c₁)
• Angle (a₃a1M)	• Angle (a₁a3M)	• Angle (a₁Ma₃)

• Périmètre du triangle (a₁a₃M)	• Surface du triangle (a₁a₃M)

	Le triangle (Kc₁c₂)

• Angle (Kc₂c₁)	• Angle (Kc₁c₂)	• Angle (c₁Kc₂)
• Côté (c₁c₂)	• Côté (Kc₂)
• Côté (Kc₁)	= 1/2 du côté (b₁c₁), donc le segment (c₂c₃) croise (b₁c₁) du triangle orthique (a₁b₁c₁) en (K) situé dans son milieu

	Le triangle (KLM)


• Côté (KL) = 1/2 (a₁b₁) = (Mb1)	• Côté (KM) = 1/2 (a₁c₁) = (Lc₁)	• Côté (LM) = 1/2 (b₁c₁)
• Angle (LKM) = (b₁a₁c₁)	• Angle (KLM) = (a₁b₁c₁)	• Angle (KML) = (a₁c₁b₁)

• Périmètre du triangle (KLM)	= 1/2 périmètre du triangle orthique (a₁b₁c₁)
• Surface du triangle (KLM)	= 1/4 surface du triangle orthique (a₁b₁c₁)



• Rayon du cercle inscrit dans le triangle (KLM) = * Le centre de ce cercle inscrit est le point (T), c'est-à-dire le centre du cercle de Taylor d'un triangle acutangle (ABC)
• Rayon du cercle circonscrit au le triangle (KLM) = = 1/4 rayon du cercle circonscrit au triangle (ABC) = 1/2 du rayon du cercle d'Euler du triangle (ABC)

Les points (K, L, M) par leurs positions aux milieux des côtés du triangle orthique (a₁b₁c₁), ils le divisent en quatre triangles (KLM, a1LM, b1KM et c1KL) semblables et isométriques, puis semblables au triangle orthique avec une surface égale pour chacun au quart de ce triangle orthique

	Le triangle (Kb₃c₃)



• Côté (Kb₃)	• Côté (Kc₃)	• Côté (b₃c₃)
• Angle (b₃Kc₃)	• Angle (Kb₃c₃)	• Angle (Kc3b₃)
• Angle (b₃Tc₃)	• Angle (Tb3c₃)	• Angle (Tc3b₃)
• Angle (Kb3T)	• Angle (Kc3T)

• Segment (KT)	• Angle (TKL)	• Angle (TKM)
• Angle (TKL) = Angle (TKM) cela signifie que le segment (KT) est la bissectrice angulaire de l'angle (LKM)
• Segment (LT)	• Angle (TLK)	• Angle (TLM)
• Angle (TLK) = Angle (TLM) cela signifie que le segment (LT) est la bissectrice angulaire de l'angle (KLM)
• Segment (MT)	• Angle (TML)	• Angle (TMK)
• Angle (TML) = Angle (TMK) ce signifie que le segment (MT) est la bissectrice angulaire de l'angle (KML)
• Angle (KTL)	• Angle (KTM)	• Angle (LTM)

• Angle (Kt1b₃)	• Angle (Lt2a₃)	• Angle (Mt3a₂)

Conclusion : l'angle (Kt1b3) = angle (Lt2a3) = angle (Mt3a2) = (90°), cela signifie que dans le triangle (KLM), la bissectrice (KT) de l'angle (K) est parallèle à (Aa1) ou la hauteur issue du sommet (A) dans le triangle (ABC), puis la bissectrice (LT) de l'angle (L) dans le triangle (KLM) est parallèle à (Bb1) ou la hauteur issue du sommet (B) dans le triangle (ABC), et enfin, la bissectrice (MT) de l'angle (M) dans le triangle (KLM) est parallèle à (Cc1) ou la hauteur issue du sommet (C) dans le triangle (ABC).

	Le triangle (a₁c₁S₂)



• Angle (a₁c1S₂) = 2 (a₁c1b₁)	• Angle (a₁S2c₁)	• Angle (c₁a1S₂) = 1/2 (a₁c1b₁)
• Côté (a₁S₂) = 2 * (a₁a₂)	• Côté (c₁S₂) = (a1c1)	Il s'agit d'un triangle isocèle

• Périmètre du triangle (a₁c₁S₂)	= 2 x Périmètre du triangle (a₁a₂L)
• Surface du triangle (a₁c₁S₂)	= 4 x Surface du triangle (a₁a₂L)

	Le triangle (a₁b₁S₅) - Isocèle

• Angle (a₁b₁S₅)	• Angle (b₁a1S₅)	• Angle (a₁S5b₁)
• Côté (a₁S₅) = 2 * (a₁a₃)	• Côté (b₁S₅) = (a₁b₁) = 2 * (a₁M)	• Côté (a₁b₁)

• Périmètre du triangle (a₁b₁S₅)	= 2 x Périmètre du triangle (a₁a₃M)
• Surface du triangle (a₁b₁S₅)	= 4 x Surface du triangle (a₁a₃M)

	Le triangle (a₁S₂S₅)



• Angle (S₂a₁S₅)	• Angle (a₁S2S₅)	• Angle (a₁S5S₂)
• Côté (a₁S₂)	• Côté (a₁S₅)	• Côté (S₂S₅) = 2 x (a₂a₃) =

• Périmètre du triangle (a₁S₂S₅)	= 2 x Périmètre du triangle (a₁a₂a₃)
• Surface du triangle (a₁S₂S₅)	= 4 x Surface du triangle (a₁a₂a₃)

La longueur du côté (S₂S₅) = le périmètre du triangle orthique (a₁b₁c₁). On peut également prouver que les segments (S₁S₄) = (S₂S₅) = (S₃S₆) = le périmètre du triangle orthique (a₁b₁c₁) et que : (S₁S₄) = 2 x (b₂b₃) = (S₂S₅) = 2 x (a₂a₃) = (S₃S₆) = 2 x (c₂c₃)

Le triangle (Aa₂a₃) est semblable au triangle (Ab₁c₁), isogoniques, mais non isométriques

• Angle (Aa₃a₂)	• Angle (Aa2a₃)	• Angle (a₂Aa₃)
• Périmètre du triangle (Aa₂a₃)	• Périmètre du triangle (Ab₁c₁)
• Surface du triangle (Aa₂a₃)	• Surface du triangle(Ab₁c₁)

• Rappport : Surface du triangle (Aa₂a₃) / Surface du triangle(Ab₁c₁) = Ce rapport dépend de la surface du triangle orthique (a₁b₁c₁) : rapport élevé = petite surface du triangle orthique

Le triangle complémentaire construit par les pieds des médiatrices dans le triangle (ABC)

Le triangle (UXY) est construit en reliant les pieds des trois médiatrices (axes des trois côtés AB, AC et BC), donc les sommets de ce triangle sont les milieux des côtés du triangles ABC. Les deux triangles ABC et UXY sont homothétiques dont les côtés sont parallèles deux à deux ; ils sont également semblables (de même forme). Chaque côté de triangle (UXY) mesure la moitié du côté parallèle à lui dans le triangle ABC).
Le triangle ABC par cette procédure est divisé en quatre triangles égaux et semblables (UXY ; AUY ; BUX et AXY), c'est-à-dire leurs angles ont, deux à deux même mesure.

Les médiatrices d'un triangle ABC avec la construction du cercle circonscrit et le cercle d'Euler et la droite d'Euler

• Côté UY = BX = XC = 1/2 côté CB =	•
• Côté UX = AY = CY = 1/2 côté AC =	•

• Côté XY = AU = UB = 1/2 côté AB =	•

• Périmètre du triangle (UXY) = Périmètre du triangle (AUY) = Périmètre du triangle (UXB) = Périmètre du triangle (CXY) = 1/2 Périmètre du triangle (ABC)	•

• Surface du triangle (UXY) = surface du triangle (AUY) = Surface du triangle (UXB) = Surface du triangle (CXY) = 1/4 de la surface du triangle (ABC) =	•

• Angle XUY = Angle AYU = Angle UXB = Angle YCX = Angle Z3 =	•

• Angle XYU = Angle AUY = Angle XBU = Angle CXY = Angle Z2 =	•

• Angle YXU = Angle YAU = Angle XUB = Angle CYX = Angle Z1 =	•

• Rayon du cercle circonscrit au triangle (UXY) = Cercle d'Euler =	•

• Périmètre du cercle circonscrit au triangle (UXY) = Cercle d'Euler =	•

• Surface du cercle circonscrit au triangle (UXY) = Cercle d'Euler =	•

• Rayon du cercle inscrit dans le triangle (UXY) =	•

• Périmètre du cercle inscrit dans le triangle (UXY) =	•

• Surface du cercle inscrit dans le triangle (UXY) =

•

Image montrant les caractéristiques des points (O = centre du cercle circonscrit au triangle ABC) et (H = l'orthocentre
du triangle ABC = le point de concours des trois hauteurs du triangle ABC) - "O" et "H" sont des conjugués isogonaux

Un conjugué isogonal d'un point dans triangle (ABC) : prenons un point (σ) dans un triangle (ABC). (α) , (β) et (γ) sont les pieds des trois céviennes (Aα), (Bβ) et (Cγ) dont le point de concours unique est (σ).
Si (Aα') , (Bβ') et (Cγ') sont des droites isogonales respectivement aux droites (Aα) , (Bβ) et (Cγ) avec les angles correspondants par rapport aux côtés (BC, AC, et AB), alors les trois droites (Aα'), (Bβ') et (Cγ') se coupent en un seul point (σ') appelé le conjugué isogonal du point (σ).

L'étude métrique montre que le point "O" est le conjugué isogonal du point "H" :
   * Les angles simple :
         - L'angle CAH = OAB
         - L'angle CBH = OBA
         - L'angle ACH = OCB
   * Les angles doubles :
          - L'angle BAH = OAC
          - L'angle ABH = OBC
          - L'angle BCH = OCA

Image montrant les caractéristiques des points (O = centre du cercle circonscrit au triangle ABC) et (H = le point de concours des trois hauteurs du triangle ABC) - O et H sont des conjugués isogonaux

Les angles d'un triangle (ABC) liés au point "H" (l'orthocentre)

• Angle ACH

• Angle CAH

• Angle AHC

• Angle BCH

• Angle CBH

• Angle BHC

• Angle ABH

• Angle BAH

• Angle AHB

Les angles d'un triangle (ABC) liés au point "O" (centre du cercle circonscrit au triangle ABC)

• Angle OAB = Angle OBA

• Angle OAC = Angle OCA

• Angle OBC = Angle OCB

• Angle AOB

• Angle AOC

• Angle BOC

Les hauteurs d'un triangle (ABC)

• Hauteur (AH3)

• Segment (AH)

• Segment (HH3)

• Hauteur (BH2)

• Segment (BH)

• Segment (HH2)

• Hauteur (CH1)

• Segment (CH)

• Segment (HH1)

• Projetée (OM1)

• Projetée (OM2)

• Projetée (OM3)

Les longueurs des projetée (OM1), (OM2) et (OM3) peuvent être calculées par des formules simples :
Si (Di) est le diamètre du cercle circonscrit au triangle (ABC), alors :
(OM1) = 0.5 √[(Di)² - (AB)²] ; (OM2) = 0.5 √[(Di)² - (AC)²] ; (OM3) = 0.5 √[(Di)² - (BC)²].
(OM1) + (OM2) + (OM3) = 0.5 {√[(Di)² - (AB)²] + √[(Di)² - (AC)²] + √[(Di)² - (BC)²]}

Selon le « Théorème japonais de Carnot Lazare - 1803 » : * Dans un triangle (ABC) : la somme du rayon (R) de son cercle circonscrit (O) et le rayon (r) de son cercle inscrit (i) est égale à la somme des trois projetées orthogonales du centre du cercle circonscrit (O) sur les trois côtés (AB, AC, BC) de ce triangle (ABC). * Ce théorème peut être exprimé par la formule suivante : ° - Projetée (OM1) + Projetée (OM2) + Projetée (OM3) = (R + r). Ce calculateur utilise la formule [Projetée (OM1) + Projetée (OM2) - Projetée (OM3) = (R + r)]. si une des angles du triangle (ABC) est obtus (< à 90°)], sachant que dans le cas du triangle obtusangle, la projetée orthogonale de (O) sur le côté opposé à l'angle obtu est complètement à l'extérieur du triangle (ABC) d'où la nécessité de lui donner une valeur négative dans la formule de calcul. Ce Théorème est décrit comme « Japonais » parce qu'il a permis de résoudre un autre théorème connu sous le nom du « Vieux théorème japonais ».

• Projetée (OM1) + Projetée (OM2) ± Projetée (OM3) =
• ∆-(ABC) : (R) rayon du cercle circonscrit + (r) rayon du cercle inscrit =

• Segment (AG)

• Angle HAO

• Angle HBO

• Angle HCO

• Angle AHO

• Angle AOH

• Angle GAO

• Angle AGO

• Angle AGH

• Angle HGO

Étude métrique des droites d'un triangle (ABC) acutangle (ayant 3 angles aigus) :
droite d'Euler, droite de Nagel, droite (HI) et droite (IO)

• Droite d'Euler (O-G-H)

• Segment (OG) = 1/3 (O-G-H)

• Segment (HG) = 2/3 (O-G-H)

• Droite de Nagel (I-G-N)

• Segment (IG) = 1/3 (I-G-N)

• Segment (GN) = 2/3 (I-G-N)

• Droite (H-I)

• Droite (I-O)

• Angle HIO

Les trois médianes du triangle (ABC) qui concourent au point 'G' ou
le (Centre de gravité du triangle ABC) - Étude métrique.

Le triangle (UXY) construit en reliant les pieds des médianes est le même triangle (UXY) obtenu en reliant les trois pieds des médiatrices. Le triangle (UXY) est appelé également le triangle complémentaire du triangle (ABC).
Le cercle circonscrit au triangle (UXY) est le cercle d'Euler (Leonhard - 1707 - 1783). Le point de concours des trois médianes et le point 'G', il est dans la 'Droite d'Euler'.
Les médianes du triangle ABC, sont également les médianes (chacun relie le sommet au point du milieu du côté opposé) de toute la série de triangle (plus petits ou plus grands) construits sur la technique avec comme centre de gravité le point 'G'.

Les médianes du triangles ABC et leurs particularités

• La médiane AX	•	• Segment AG	•
• La médiane AX	•	• Segment XG = 1/2 (AG)	•

• La médiane BY	•	• Segment BG	•
• La médiane BY	•	• Segment YG = 1/2 (BG)	•

• La médiane CU	•	• Segment CG	•
• La médiane CU	•	• Segment UG = 1/2 (CG)	•

* Dans un triangle (ABC) on peut calculer la longueur des médianes sans introduire dans le calcul les valeurs trigonométriques des angles de ce triangle : ° - Médiane (AX) = √{0.5 * [(AB² + AC²) - (BC²/2)]} ° - Médiane (BY) = √{0.5 * [(AB² + BC²) - (AC²/2)]} ° - Médiane (CU) = √{0.5 * [(AC² + BC²) - (AB²/2)]}

• Segment AX² = 1/2 AX	• Segment BY² = 1/2 BY	• Segment CU² = 1/2 CU


Triangle (UXY) dont les sommets sont les pieds des médianes du triangle (ABC) sur ses côtés (AB, BC et AC) respectivement Il s'agit d'un triangle semblable au triangle (ABC) et sa surface vaut (1/4) de la surface du triangle (ABC)

• Côté UY parallèle et égale au 1/2 BC =	• Segment UX² = segment X²Y = 1/4 BC =

• Côté UX parallèle et égale au 1/2 AC =	• Segment UY² = segment Y²X = 1/4 AC =

• Côté XY parallèle et égale au 1/2 AB =	• Segment XU² = segment U²Y = 1/4 AB =

• Angle XAB = Angle AXY =		• Angle XAY = Angle GXU =

• Angle ABY = Angle BYX =		• Angle YBC =

• Angle ACU = Angle GUX =		• Angle BCU = Angle GUY =

• Angle UGX = Angle BY²U		• Angle XGY = Angle AGB

Angle AGY = Angle BGX

• Angle AXB =		• Angle GXU =

• Angle GXY =		• Angle AX²U = Angle AXB

• Angle CUB =		• Angle GUX =

• Angle GUY =		• Angle BY²U = Angle UGX

• Angle CU²X =		• Angle CU²Y = Angle CUA

Étude métrique de la division du triangle (ABC) et son cercle circonscrit par les médianes de ce triangle

Les médianes d'un triangle (ABC) - Le centre de gravité d'un triangle (ABC) - Caractéristiques

L'étude métrique des trois triangles non semblables [(AGB) ; (AGC) ; (BGC)] résulatant de la division du triangle (ABC) par ces trois médiane (AX, BY et CU) autour du point (G)
Cette étude montre :

   * Les trois triangles [(AGB) ; (AGC) ; (BGC)] ont des surfaces égales ;
   * La surface de chacun de ces triangles [(AGB) ; (AGC) ; (BGC)] est égale au 1/3 de la surface du triangle ABC).

   * Le triangle (AGB) est divisé en deux triangles non semblables [(AGU) et (BGU)] dont les surfaces sont égales et valent pour chacun le (1/6°) de la surface du triangle (ABC) ;
  * Le triangle (AGC) est divisé en deux triangles non semblables [(AGY) et (CGY)] dont les surfaces sont égales et valent pour chacun le (1/6°) de la surface du triangle (ABC) ;
  * Le triangle (BGC) est divisé en deux triangles non semblables [(BGX) et (CGX)] dont les surfaces sont égales et valentpour chacun le (1/6°) de la surface du triangle (ABC).

Conclusion : les médianes d'un triangle (ABC) le divisent autour du point "G" (son centre de gravité ou son isobarycentre) en six triangles non semblables (sauf si le triangle ABC est équilatéral), mais possédant la même de valeur de surface qui vaut le (1/6)° de la surface du triangle (ABC).

Le six triangles [(AGE) ; (BGE) ; (AGL) ; (CGL) ; (BGF) ; (CGF)] résultant de la projection des trois médianes du triangle (ABC) sur son cercle circonscrit ont ces particularités :

* Ce sont des triangles non semblables (sauf si le triangle ABC est équilatéral).
   * Les deux triangles [(AGE) ; (BGE)] formés autour du côté (AB) du triangle (ABC) possèdent des surfaces équivalentes.
   * Les deux triangles [(AGL) ; (CGL)] formés autour du côté (AC) du triangle (ABC) possèdent des surfaces équivalentes.
   * Les deux triangles [(BGF) ; (CGF)] formés autour du côté (BC) du triangle (ABC) possèdent des surfaces équivalentes.

• Angle AGB

• Angle AGU

• Angle BGU

• Angle AGC

• Angle AGY

• Angle CGY

• Angle BGC

• Angle BGX

• Angle CGX

• Aire du triangle (AGB)

• Aire du triangle (AGU)

• Aire du triangle (BGU)

• Aire du triangle (AGC)

• Aire du triangle (AGY)

• Aire du triangle (CGY)

• Aire du triangle (BGC)

• Aire du triangle (BGX)

• Aire du triangle (CGX)

Les médianes du triangle (ABC) avec leurs projections sur son cercle circonscrit dont le centre est le point "O"

• Médiane AF

• Segment GF

• Médiane BL

• Segment GL

• Médiane CE

• Segment GE

Le centre "O" du cercle circonscrit au triangle (ABC) et le point "G" ou centre de gravité du triangle (ABC) - Étude métrique de position

• Angle AOB

• Angle AOF

• Angle BOL

• Angle COE

• Angle OAB

• Angle GAO

• Angle GBO

• Angle GCO

• Segment OU

• Segment GO

Étude métrique de l'hexagone irrégulier (ALCFBE) résultant de la projection des trois médianes du triangle (ABC) sur son cercle circonscrit

• Côté AE

• Côté BE

• Côté BF

• Côté CF

• Côté CL

• Côté AL

• Aire du triangle (AGE)

• Aire du triangle (AEU)

• Aire du triangle (BGE)

• Aire du triangle (BEU)

• Aire du triangle (BGF)

• Aire du triangle (BFX)

• Aire du triangle (CGF)

• Aire du triangle (CFX)

• Aire du triangle (CGL)

• Aire du triangle (CLY)

• Aire du triangle (AGL)

• Aire du triangle (ALY)

Étude métrique du triangle QRS inscrit dans le triangle ABC et produit par les pieds de ses trois bissectrices

Les bissectrices angulaires du triangle (ABC)

• Côté (QR) du triangle QRS

• Angle (SRQ)	•
• Cos(SRQ)	•

• Côté (QS) du triangle QRS

• Angle (RSQ)	•
• Cos(RSQ)	•

• Côté (SR) du triangle QRS

• Angle (SQR)	•
• Cos(SQR)	•

• Bissectrice (AR)

• Segment (AW)	•
• Segment (RW)	•

• Bissectrice (BS)

• Segment (BW)	•
• Segment (SW)	•

• Bissectrice (CQ)

• Segment (WQ)	•
• Segment (CW)	•

• Segment (AQ) du (AB)

• Segment (QB) du (AB)	•

• Segment (BR) du (BC)

• Segment (CR) du (BC)	•

• Segment (AS) du (AC)

• Segment (CS) du (AC)	•

• Angle (CQS)

• Angle (RQC)	•
• Angle (AWQ)	•

• Angle (AQC)

• Segment Aa1 = Aa2

• Segment Ba1 = Ba3	•

• Segment Aa2 = Aa1

• Segment Ca2 = Ca3	•

• Segment Ba3 = Ba1

• Segment Ca3 = Ca2	•


• Périmètre du triangle QRS	•	• Surface du triangle QRS	•


• Rayon du cercle inscrit dans le triangle (QRS)	•	• Rayon du cercle circonscrit au triangle (QRS)	•

Étude métrique (côtés et angles) du triangle (a₁a₂a₃) connu sous le nom du « Triangle de Gergonne » dont les trois sommets
µ sont les points de tangence du cercle inscrit dans le triangle
(ABC) à ses trois côtés (AB, AC, BC)

Les bissectrices angulaires du triangle (ABC) - Deux triangles issus de cette construction


• Côté (a₁a₂) du triangle (a₁a₂a₃)	•	• Angle (a₂a₁a₃) du triangle (a₁a₂a₃)	•
• Côté (a₁a₃) du triangle (a₁a₂a₃)	•	• Angle (a₁a₂a₃) du triangle (a₁a₂a₃)	•
• Côté (a₂a₃) du triangle (a₁a₂a₃)	•	• Angle (a₁a₃a₂) du triangle (a₁a₂a₃)	•


• Périmètre du triangle (a₁a₂a₃)	•	• Surface du triangle (a₁a₂a₃)	•


• Rayon du cercle inscrit dans le triangle (a₁a₂a₃)	•	• Rayon du cercle circonscrit au triangle (a₁a₂a₃)	•

Sur chacun des trois côtés du triangle (ABC), évaluation métrique de la distance (en valeur absolue) séparant le
le pied de la bissectrice angulaire (issue du sommet opposé) du point de tangence du cercle inscrit dans ce triagle (ABC).

• Segment (a₁Q)

•

• Segment (a₂S)

•

• Segment (a₃R)

•

Point, cercles, hexagone et triangle de Lemoine (Émile 1840-1912)

* Le point de Lemoine (point "K") du triangle (ABC) est le point de concours des trois symédianes de ce triangle.
* La symédiane dans un triangle (ABC) est une droite issue d'un sommet de ce triangle et symétrique de la médiane issue du même sommet par rapport à la bissectrice angulaire intérieure de ce sommet.
* Les trois symédianes d'un triangle (ABC) sont des Céviennes, c'est-à-dire elles concourent au même point appelé le point de Lemoine (K) d'un triangle (ABC).

* En déterminant la position du point (K) de Lemoine, il est possible de construire :
    - Le premier cercle de Lemoine ;
    - Le second cercle de Lemoine ;
    - L'hexagone de Lemoine ;
    - le triangle de Lemoine (triangle podaire du point "K" de Lemoine).

Le point de Lemoine (K) d'un triangle (ABC)

• Bissectrice-A (BS1)

• Bissectrice-B (BS2)

• Bissectrice-C (BS3)

• Médiane (A-Md1)

• Médiane (B-Md2)

• Médiane (C-Md3)

• Segment (B-BS1)

• Segment (A-BS2)

• Segment (A-BS3)

• Segment (BS1-Sm1)

• Segment (BS2-Sm2)

• Segment (BS3-Sm3)

• Segment (C-Sm1)

• Segment (C-Sm2)

• Segment (A-Sm3)

• Segment (B-Sm1)

• Segment (A-Sm2)

• Segment (B-SM3)

• A-symédiane (A-Sm1)

• B-symédiane (B-Sm2)

• C-symédiane (C-Sm3)

• Segment (AK)

• Segment (BK)

• Segment (CK)

• Segment (K-Sm1)

• Segment (K-Sm2)

• Segment (K-Sm3)

• Angle AKB

• Angle AKC

• Angle BKC

Étude métrique de la position du point (K) de Lemoine par rapports aux points principaux du triangle (ABC) (I) = centre du cercle inscrit dans le triangle (ABC) ; (G) = centre de gravité du triangle (ABC) et (O) = centre du cercle circonscrit au triangle (ABC) (Ok) = centre du premier cercle de Lemoine du triangle (ABC) (K) = le point de Lemone et le centre du second cercle de Lemoine

• Segment (AK)

• Segment (AG)

• Segment (AI)

• Segment (KI)

• Segment (GI)

Conclusion : (KI) ≠ (GI) donc le point (I) ne se situe pas au milieu de (K-G)

• Angle KIA

• Angle GIA

• Angle KIA + Angle GIA

Conclusion : les trois points (K, I et G) ne sont pas allignés parce que l'addition des deux angles (KIA + GIA) n'est pas égale à 180°

• Distance entre (K) et (O)

• Segment (KOk) = (O-Ok)

Le point (Ok) est au milieu du segment (KO) ; c'est le centre du premier cercle de Lemoine du triangle (ABC)

• Angle (OAB)

• Angle (OAK)

• Angle (AOK)

• Angle (KAI)

• Angle (GAI)

• Angle (BASm1)

• Angle (ABSm2)

• Angle (CASm1)

• Angle (ACSm3)

• Angle (BCSm3)

• Angle (CBSm2)

• Angle (BAMd1)

• Angle (ABMd2)

• Angle (ACMd3)

Valeur du théorème de Céva pour les trois symédianes (A-Sm1, B-Sm2 et C-Sm3) •

[Segment (A-Sm3) /Segment (B-Sm3)] * [Segment (B-Sm1) /Segment (C-Sm1)] * [Segment (C-Sm2) /Segment (A-Sm2)]

Le premier cercle de Lemoine - L'hexagone de Lemoine

* Dans le triangle (ABC), on construit trois droites passant par le point (K) de Lemoine de ce triangle, la première est parallèle avec le côté (AB) et coupe respectivement les deux côtés (AC et BC) respectivement en (L3) et (L6) ; la deuxième droite est parallèle avec le côté (AC) et coupe respectivement (AB et BC) en (L1) et (L5), enfin la troisième droite est parallèle avec (BC) et coupe respectivement (AB et AC) en (L2) et (L4).

* Les six points (L1, L2, L3, L4, L5 et L6) et qui appartiennent au triangle (ABC) sont les six sommets d'un hexagone irrégulier appelé "Hexagone de Lemoine".

* L'hexagone de Lemoine (avec ses six sommets) est inscriptible dans un cercle appelé le "Premier cercle de Lemoine"; son centre (O_k) se situe au milieu du segment (O-K) où (O) est le centre du cercle circonscrit au triangle (ABC) et (K) est le point de Lemoine de ce même triangle.

* En observant la figure ci-dessous on remarque que les trois parallèles (L3L6, L1L5 et L2L4) divisent le triangle (ABC) en neuf triangles dont six triangles composant l'hexagone de Lemoine, puis un triangle devant chaque sommet du triangle (ABC).

* La particularité de ces neuf triangles c'est qu'ils sont tous semblables au triangle (ABC), donc isogones (leurs angles de même mesure) et isomorphes, mais non isométriques (leurs côtés de longueurs inégales). Vous trouvez ci-dessous l'étude métrique de ces neuf triangles.

* Dans la figure ci-dessous, les trois segments (L1L3 ; L2L6 et L4L5) sont des antiparallèles dans le triangle (ABC), donc en construisant trois droites passant par le point (K) de Lemoine et parallèles à ces segments (L1L3 ; L2L6 et L4L5) on obtient le second hexagone de Lemoine avec ses six sommets qui appartiennent au même et nouveau cercle appelé le "Second cercle de Lemoine" dont le centre est le point (K).

Le premier cercle de Lemoine et le Point K

• Rayon du premier cercle de Lemoine

• Rayon du second cercle de Lemoine

• Parallèle L1L5

• Parallèle L2L4

• Parallèle L3L6

• Hauteur (Kh1) (KL1L2)

• Hauteur (Kh2) /(KL3L4)

• Hauteur (Kh3) /(KL5L6)

Triangle KL1L2

• Côté KL1

• Côté KL2

• Côté L1L2

• Surface du triangle KL1L2

Périmètre du triangle KL1L2

Triangle KL3L4

• Côté KL3

• Côté KL4

• Côté L3L4

• Surface du triangle KL3L4

Périmètre du triangle KL3L4

Triangle KL5L6

• Côté KL5

• Côté KL6

• Côté L5L6

• Surface du triangle KL5L6

Périmètre du triangle KL5L6

Triangle KL1L3

• Côté KL1

• Côté KL3

• Côté L1L3

• Surface du triangle KL1L3

Périmètre du triangle KL1L3

Triangle AL1L3

• Côté AL1

• Côté AL3

• Côté L1L3

• Surface du triangle AL1L3

Périmètre du triangle AL1L3

Triangle KL2L6

• Côté KL2

• Côté KL6

• Côté L2L6

• Surface du triangle KL2L6

Périmètre du triangle KL2L6

Triangle BL2L6

• Côté BL2

• Côté BL6

• Côté L2L6

• Surface du triangle BL2L6

Périmètre du triangle BL2L6

Triangle KL4L5

• Côté KL4

• Côté KL5

• Côté L4L5

• Surface du triangle KL4L5

• Périmètre du triangle KL4L5

Triangle CL4L5

• Côté CL4

• Côté CL5

• Côté L4L5

• Surface du triangle CL4L5

• Périmètre du triangle CL4L5

• Segment L1L4

Second cercle de Lemoine

* On construit une antiparallèle passant par le point (K) de Lemoine pour chaque côté du triangle (ABC).

* L'antiparallèle du côté (AB) coupe le côté (AC) en (P3) et le côté (BC) en (P6). L'antiparallèle de (AC) coupe (AB) en (P1) et (BC) en (P5) ; enfin, l'antiparallèle de (BC) coupe (AB) en (P2) et (AC) en (P4).

* Les six points obtenus (P1, P2, P3, P4, P5 et P6) sont les six sommets d'un hexagone irrégulier (second hexagone de Lemoine) inscriptible dans cercle "Second cercle de Lemoine" dont le centre est le point (K) de Lemoine du triangle (ABC).

* Les trois antiparallèles (P1P5 - P2P4 et P3P6) avec le second cercle de Lemoine divisent le triangle (ABC) en neuf triangles secondaires dont six parmi eux forment le second hexagone de Lemoine, il s'agit de triangles isocèles dont les côtés latéraux sont égaux au rayon du cercle de Lemoine. Chaque triangle est égal au triangle opposé par rapport au centre du cercle (point K) ; au final, on a avec cette construction trois paires de triangles isocèles.

* Les trois triangles restants ne sont pas isométriques, mais semblables entre eux et semblables au triangle principal (ABC). Chaque triangle de cette catégorie possède un sommet appartenant également aux sommets du triangle (ABC).

• Rayon du second cercle de Lemoine

Les trois antiparallèles du triangle (ABC) sont isométriques et égales au diamètre du second cercle de Lemoine
• Antiparallèle P1P5		• Antiparallèle P2P4	• Antiparallèle P2P4


Triangle (KP1P2) = Triangle (KP4P5) >> triangles isocèles avec deux côtés égaux égales au rayon du cercle du second cercle de Lemoine
	• Angle P1KP2	• Angle KP1P2 = KP2P1 = Z3	• Côté P1P2 = Côté P4P5
	• Surface du triangle (KP1P2)	• Perimètre du triangle (KP1P2)

Triangle (KP3P4) = Triangle (KP2P6) >> triangles isocèles avec deux côtés égaux égales au rayon du cercle du second cercle de Lemoine
	• Angle P3KP4	• Angle KP3P4 = KP4P3 = Z2	• Côté P3P4 = Côté P2P6
	• Surface du triangle KP3P4	• Perimètre du triangle (KP3P4)

Triangle (KP5P6) = Triangle (KP1P3) >> triangles isocèles avec deux côtés égaux égales au rayon du cercle du second cercle de Lemoine
	• Angle P5KP6	• Angle KP5P6 = KP6P5 = Z1	• Côté P5P6 = Côté P1P3
	• Surface du triangle (KP5P6)	• Perimètre du triangle (KP5P6)

	Triangle (AP1P3) - Triangle semblable au triangle (ABC)
	• Côté AP1	• Côté AP3	• Côté P1P3
	• Surface du triangle (AP1P3)	• Perimètre du triangle (AP1P3)

	Triangle (BP2P6) - Triangle semblable au triangle (ABC)
	• Côté BP2	• Côté BP2	• Côté P2P6
	• Surface du triangle (BP2P6)	• Perimètre du triangle (BP2P6)

	Triangle (CP4P5) - Triangle semblable au triangle (ABC)
	• Côté CP4	• Côté CP5	• Côté P4P5
	• Surface du triangle (CP2P6)	• Perimètre du triangle (CP4P5)

Le triangle de Lemoine du triangle (ABC) - Triangle podaire du point (K) de Lemoine

Théorème du triangle podaire (A'B'C') de Lemoine : dans un triangle (ABC), le point (K) de Lemoine est l'unique point du plan de ce triangle qui est en même temps, le centre de gravité (point G) de son propre triangle podaire (A'B'C') ; cela signifie que les trois segments (A'Med3, B'-Med1 et C'Med2) issues du point (K) de Lemoine et perpendiculaires respectivement aux côtés (BC, AC et AB) du triangle (ABC) sont également les trois médianes du triangle podaire (A'B'C') de Lemoine.

Le centre de gravité d'un triangle (point G) est le point de concours de ses trois médianes.
Les sommets d'un triangle podaire dans le triangle (ABC) résultent de la projection orthogonale de ce point sur les trois côtés (AB, AC, BC) de ce triangle (ABC).

Le triangle de Lemoine ou le triangle podaire du point (K) de Lemoine

Triangle (A'B'C') de Lemoine

• Côté (A'B')

• Segment (A'Md2)

• Segment (B'Md2)

• Côté (A'C')

• Segment (A'Md1)

• Segment (C'Md1)

• Côté (B'C')

• Segment (B'Md3)

• Segment (C'Md3)

• Angle (B'A'C')

• Angle (KA'B')

• Angle (KA'C')

• Angle (A'B'C')

• Angle (KB'A')

• Angle (KB'C')

• Angle (A'C'B')

• Angle (KC'A')

• Angle (KC'B')

• Angle (A'KB')

• Angle (A'KC')

• Angle (B'KC')

• Orthogonale (KA')

• Orthogonale (KB')

• Orthogonale (KC')

Selon le théorème d'Erdös-Mordell (Louis Joël (1888 - 1972) :
(M) est un point quelconque intérieur à un triangle (ABC). (A'B'C') est le triangle podaire de ce point (M).
On peut affirmer d'après ces données et d'après le théorème d'Erdös - Mordell que :
(MA + MB + MC) ≥ 2 * (MA' + MB' + MC') ; l'égalité de cette formule peut être obtenue quand le triangle (ABC) est équilatéral.
Le théorème d'Erdös (1935) - Mordell (1937) est démontrable au triangle podaire de Lemoine :


• AK + BK + CK =		• 2 * (A'K + B'K + C'K) =

• Segment (A'Md3) (médiane)

• Segment (C'Md2) (médiane)

• Segment (B'Md1) (médiane)

• Surface du triangle (A'B'C') de Lemoine		• Périmètre du triangle (A'B'C') de Lemoine

• Rayon du cercle circonscrit au triangle (A'B'C') de Lemoine		• Rayon du cercle inscrit dans le triangle (A'B'C') de Lemoine

Triangle (AB'C')

• Côté (AB')

• Côté (AC')

• Côté (B'C')

• Angle (AB'C')

• Angle (AC'B')

• Angle (B'AC')

Triangle (BA'C')

• Côté (BA')

• Côté (BC')

• Côté (A'C')

• Angle (BA'C')

• Angle (BC'A')

• Angle (A'BC')

Triangle (CA'B')

• Côté (CA')

• Côté (CB')

• Côté (A'B')

• Angle (CA'B')

• Angle (CB'A')

• Angle (A'CB')

Point de Gergonne (Joseph Diaz 1771 - 1839) d'un triangle (ABC)

* Les trois points (a₁, a₂ et a₃) sont les points de contact du cercle inscrit dans le triangle (ABC) avec respectivement ses trois côtés (AB, AC et BC). * Les trois segments (Aa₃, Ba₂ et Ca₁) councourent en un point, c'est le "Point de Gergonne" du triangle (ABC).

• Segment (Aa₃)

•

• Segment (Ba₂)

•

• Segment (Ca₁)

•

[Segment (Aa₁) /Segment (Ba₁)] * [Segment (Ba3) /Segment (Ca₃)] * [Segment (Ca₂) /Segment (Aa₂)] =

* Selon le théorème de Céva (Giovanni ou Jean - 1648 - 1734), dans un triangle (ABC), quand la formule précédente est égale à (1), alors les trois segments (Aa₃ - Ba₂ - Ca₁) sont concourants à un seul point (nommé "Point de Gergonne" - Point 'Ge' ).
* Les segments (Aa₃ - Ba₂ - Ca₁) sont décrits comme étant des céviennes ; c'est le cas également pour d'autres éléments du triangle (ABC) : ses hauteurs, ses médianes, ses médiatrices et ses bissectrices internes.

* Le point de Nagel est le conjugué isotomique du point de Gergonne.

Étude métrique des trisectrices des trois angles (Z1, Z2 et Z3) du triangle (ABC) et le triangle de Morley (Frank - 1860 - 1937) dont les trois
sommets se produisent par le recoupement de ces trisectrices ; il s'agit d'un triangle équilatéral

Trisectrices des trois angles du triangle ABC et la création du triangle de Morley

• Côté (αγ) du triangle de Morley

• Côté (αβ) du triangle de Morley

• Côté (βγ) du triangle de Morley

Cette étude métrique confirme que le triangle (αβγ ou le triangle de Morley) est équilatéral


• Périmètre du triangle de Morley	•	• Surface du triangle de Morley	•
• Rayon du cercle circonscrit au triangle de Morley	•	• Rayon du cercle inscrit dans le triangle de Morley	•

• Segment (Aα) du triangle de Morley

•

• Segment (Aγ) du triangle de Morley

•

• Segment (Bα) du triangle de Morley

•

• Segment (Bβ) du triangle de Morley

•

• Segment (Cβ) du triangle de Morley

•

• Segment (Cγ) du triangle de Morley

•

• Trisectrice (Cσ1) de l'angle (Z1) du triangle (ABC)

•

• Trisectrice (Cσ2) de l'angle (Z1) du triangle (ABC)

•

• Trisectrice (Aσ3) de l'angle (Z1) du triangle (ABC)

•

• Trisectrice (Aσ4) de l'angle (Z1) du triangle (ABC)

•

• Trisectrice (Bσ5) de l'angle (Z1) du triangle (ABC)

•

• Trisectrice (Bσ6) de l'angle (Z1) du triangle (ABC)

•

• Segment (Aσ1) - Triangle ABC	•	• Segment (σ1σ2) - Triangle ABC	•	• Segment (σ2B) - Triangle ABC	•
• Segment (Bσ3) - Triangle ABC	•	• Segment (σ3σ4) - Triangle ABC	•	• Segment (σ4C) - Triangle ABC	•
• Segment (Cσ5) - Triangle ABC	•	• Segment (σ5σ6) - Triangle ABC	•	• Segment (σ6A) - Triangle ABC	•

• Angle (Aσ1C) du triangle ABC	•	• Angle (Aσ2C) du triangle ABC	•
• Angle (Aσ3B) du triangle ABC	•	• Angle (Aσ4B) du triangle ABC	•
• Angle (Aσ6B) du triangle ABC	•	• Angle (Aσ5B) du triangle ABC	•

Trisecteurs des côtés d'un triangle (ABC) - Triangle semblable miniature interne - Étude métrique

L'étude métrique des six trisecteurs des côtés du triangle (ABC) avec les trisections produites (non isogoniques) au niveau de ses angles (A, B, C)

• Trisecteur AA'

•

• Trisecteur AA''

•

• Trisecteur BB'

•

• Trisecteur BB''

•

• Trisecteur CC'

•

• Trisecteur CC''

•

• Angle A'AB

•

• Angle A''AA'

•

• Angle CAA''

•

• Angle ABB'

•

• Angle B'BB''

•

• Angle CBB''

•

• Angle ACC'

•

• Angle C'CC'

•

• Angle BCC'

•

• Segment AD

•

• Segment BD

•

• Segment AF

•

• Segment CF

•

• Segment BE

•

• Segment CE

•

Les caractéristiques du triangle (DEF) résultant des croisements des trisecteurs des côtes du triangle (ABC) :

* DEF est un triangle semblable au triangle (ABC) : les triangles (DEF) et (ABC) sont isogoniques (chacun ayant le même valeur angulaire que son équivalent), mais les côtés ne sont pas isométriques, parce que l'étude métrique montre que les côtés du triangle (ABC) sont cinq fois (x5) plus longs que ceux du triangle (DEF) ; cela s'applique sur les rayons des cercles circonscrits aux deux triangles avec également une surface du triangle (ABC) vingt cinq fois (x25) supérieure à celle du triangle (DEF).

* L'étude de la position du triangle (DEF) montre que chacun de ses angles se situe en opposition avec l'angle équivalent du triangle (ABC) : haut contre bas, droite contre gauche et l'inverse. L'autre particularité est que chaque côté du triangle (DEF) est parallèle au côté équivalent du triangle (ABC).

* Conclusion : le triangle (DEF) est de périmètre égale à (1/5) du triangle (ABC) et de surface égale (1/25) de ce dernier. Les trisecteurs de côtés, en se croisant dans de triangle (ABC), produisent sa miniature (1/25) triangulaire semblable (ou une copie) avec un parallélisme inversé.

• Côté DF du triangle (DEF)

•

• Côté DE du triangle (DEF)

•

• Côté EF du triangle (DEF)

•

• Angle EDF (= Z3)

•

• Angle DEF (= Z1)

•

• Angle DFE (= Z2)

•

• Angle CEF

•

• Angle CC''C

•

• Conclusion : le côté EF est parallèle au côté AB

• Angle BDE

•

• Angle BB'B''

•

• Conclusion : le côté DE est parallèle au côté AC

• Angle ADF

•

• Angle AA'A''

•

• Conclusion : le côté DF est parallèle au côté BC

Les particularités de l'hexagone (DS₂ES₇FS₅)

• Angle EDS₂

• Angle DES₂

• Angle DS₂E

• Angle FDS₅

• Angle DFS₅

• Angle DS₅F

• Angle FES₇

• Angle EFS₇

• Angle ES₇F

• Côté DS₂

• Côté ES₂

• Côté DS₅

• Côté FS₅

• Côté ES7

• Côté FS7

• Aire du triangle (DS₂E)

• Aire du triangle (DS₅F)

• Aire du triangle (ES₇F)

• Périmètre du triangle (DS₂E)

• Périmètre du triangle (DS₅F)

• Périmètre du triangle (ES₇F)

Les trois triangles [(DS₂E), (DS₅F), (ES₇F)] ont des aires égales, mais ils ne sont pas semblables, ni isométriques et ni isogonaux

• Aire de l'hexagone (DS₂ES₇FS₅) =

• Rapport : [Aire du triangle (ABC) / [Aire de l'hexagone (DS₂ES₇FS₅)] =

Donc la surface de l'hexagone(DS₂ES₇FS₅) = 1/10 (soit 10 %) de la surface du triangle (ABC)

• Rapport : [Aire de l'hexagone (DS₂ES₇FS₅)] / [Aire du triangle (DEF)] =	Aire du triangle DEF = 40 % de l'Aire de l'hexagone (DS₂ES₇FS₅)

Aire du triangle DEF = 40 % de l'Aire de l'hexagone (DS₂ES₇FS₅), puis chacun des trois triangles [(DS₂E), (DS₅F), (ES₇F)] occupe 20 % de l'aire de ce même hexagone

Quelques rapports métriques entre le triangle (ABC) et sa miniature, le triangle (DEF)

• Périmètre du triangle (DEF)	•	• Périmètre du triangle (ABC) / Périmètre du triangle (DEF)	•

• Surface du triangle (DEF)	•	• Surface du triangle (ABC) / Surface du triangle (DEF)	•

• Rayon cercle circonscrit au triangle (DEF)	•	• Rayon cercle circonscrit au triangle (ABC) / Rayon cercle circonscrit au triangle (DEF)	•

• Rayon cercle inscrit dans le triangle (DEF)	•	• Rayon cercle inscrit dans le triangle (ABC) / Rayon cercle inscrit dans le triangle (DEF)	•

Étude métrique du cercle exinscrit au côté BC et situé dans le secteur angulaire (AB, AC) ,c'est-à-dire l'angle Z1).
Le centre de ce cercle se situe au point de concours de la bissectrice interne de l'angle Z1 avec les bissectrices
externes des angles Z2 et Z3
'R' = le rayon du cercle exinscrit au BC = 0.5 * périmètre du triangle (ABC) *tan(Z1/2)

Trigonomètrie - Analyse du cercle exinscrit au côté d'un triangle ABC

•Rayon-cercle exinscrit au (BC)

• Périmètre du cercle exinscrit au BC
• Surface du cercle exinscrit au BC

•Rayon-cercle exinscrit au (AB)

• Périmètre du cercle exinscrit au AB
• Surface du cercle exinscrit au AB

•Rayon-cercle exinscrit au (AC)

• Périmètre du cercle exinscrit au AC
• Surface du cercle exinscrit au AC

• Segment AC1 = segment AB1

• Segment BB1 = segment BT1

• Segment CC1 = segment CT1

• Segment AW1

• Bissectrice de l'angle Z1

• Segment AW
• Segment WW1

• Bissectrice externe CW1 =

• Segment CC2

• Bissectrice externe BW1 =

• Segment BC5

Point de Nagel (W. 1870 - 1911)

Le point de Nagel (N) d'un triangle (ABC) est le point de concours des trois droites issus des sommets d'un triangle (ABC) et aboutissant chacune au point de contact du cercle exinscrit au côté opposé à ce sommet.
Sur l'image : "N" = point de Nagel du triangle (ABC). "G" = le centre de gravité du triangle (ABC). "I" = le centre du cercle inscrit dans le triangle (ABC). "Ge" = le point de Gergonne du triangle (ABC). "O" = le centre du cercle circonscrit au triangle (ABC).

Point de Nagel d'un triangle (ABC) - Cercles exinscrits

• Segment AT₂

• Segment AT₃

• Segment AT₂ + Segment AT₃ =

= (BC)

• Segment BT₁

• Segment BT₃

• Segment BT₁ + Segment BT₃ =

= (AC)

• Segment CT₁

• Segment CT₂

• Segment CT₁ + Segment CT₂ =

= (AB)

• Segment AT₁

• Segment NA

• Segment NT₁

• Segment BT₂

• Segment NB

• Segment NT₂

• Segment CT₃

• Segment NC

• Segment NT₃

La formule de Céva : [Segment (AT₃) /Segment (BT₃)] * [Segment (BT₁) /Segment (CT₁)] * [Segment (CT₂) /Segment (AT₂)] =

* Selon le théorème de Céva (Giovanni ou Jean - 1648 - 1734), dans un triangle (ABC), quand la formule précédente est égale à (1), alors les trois segments (AT₁ - BT₂ - CT₃) sont concourants à un seul point (nommé "Point de Nagel" - Point 'N' ).

• Angle BAT₁

• Angle ABT₂

• Angle ANB

• Angle CAT₁

• Angle ACT₃

• Angle ANC

• Angle CBT₂

• Angle BCT₃

• Angle BNC

• Angle IAN

• Angle AIN

• Angle AGI

• Angle AGN

Angle AGI + AGN = 180°

• Droite de Nagle (I-G-N)

• Segment IG

• Segment NG = 2 * IG

• Angle AGI + Angle AGN = donc les trois points (I, G et N) sont alignés et le segment NG = 2 * IG
La droite "IN" passant par les trois points (I, G et N) est appelée la "Droite de Nagel d'un triangle ABC"
Le point "G_s" d'un triangle (ABC) = (Point de Spiecker) = le point situé au milieu du segment [IN].

Le triangle (T₁T₂T₃) (formé par les points de contact des cercles ex-inscrits au côtés du triangle ABC)

• Côté T₁T₂

• Côté T₁T₃

• Rayon du cercle inscrit dans le triangle (T₁T₂T₃)		• Rayon du cercle circonscrit au le triangle (T₁T₂T₃)

• Périmètre du triangle (T₁T₂T₃)		• Surface du triangle(T₁T₂T₃)

• Angle T₂T1T₃

• Angle T₂T1N

• Angle T₃T1N

• Angle T₁T2T₃

• Angle T₁T2N

• Angle T₃T2N

• Angle T₁T3T₂

• Angle T₁T3N

• Angle T₂T3N

• Angle ANT₂

• Angle ANT₃

• Angle BNT₃

• Angle BNT₁

• Angle CNT₁

• Angle CNT₂

Le triangle (I_aI_bI_c) est formé par les centres des trois cercles ex-inscrits au triangle ( ABC)

Ce triangle est subdivisé en quatre triangle dont le triangle (ABC), puis trois triangles [(ABIc), (ACIb) et (BCIa)] construits
à l'extérieur, sur les côtés (AB, AC et BC) du triangle (ABC). Ces trois triangles extérieurs sont métriquement inégaux, mais
semblables (isogones) et également semblables au triangle principale (I_aI_bI_c).
Les position angulaires des trois triangles [(ABI_c), (ACI_b) et (BCI_a)]) rend les côtés du triangle (ABC) comme étant des
antiparallèles dans le triangle (I_aI_bI_c).

Triangle (IaIbIc) dont les sommets sont les centres des trois cercles exinscrits aux côtés d'un triangle (ABC)

Étude métrique du triangle (I_aI_bI_c)

• Côté (I_aI_b)

• Segment IaC

• Segment IbC

• Côté (I_aI_c)

• Segment IaB

• Segment IcB

• Côté (I_bI_c)

• Segment IbA

• Segment IcA

• Angle IbIaIc

• Angle IaIbIc

• Angle IaIcIb

• Rayon du cercle inscrit dans le triangle (I_aI_bI_c)

• Rayon du cercle circonscrit au le triangle (I_aI_bI_c)

• Périmètre du triangle (I_aI_bI_c)

• Surface du triangle (I_aI_bI_c)

Le rôle des bissectrices du triangle (ABC) dans le triangle (I_aI_bI_c)

* L'étude métrique montrent que les trois bissectrices angulaires du triangle (ABC) sont également les trois hauteurs du triangle (I_aI_bI_c).
* Le point (I) ou le centre du cercle inscrit dans le triangle (ABC) est également le point 'H' (l'orthocentre) du triangle (I_aI_bI_c).
* Le triangle (ABC) est le triangle orthique du triangle (I_aI_bI_c).
* Le cercle circonscrit au triangle (ABC) est le (cercle d'Euler-Feuerbach des 9 points) du triangle (I_aI_bI_c).
* Les trois droites [(I_a-T₁) ; (I_b-T₂) ; (I_c-T₃)] se croisent en un seul point appelé "Point de Bevan". Ce "Point de Bevan" est également le centre du cercle circonscrit au triangle (I_aI_bI_c).

• Angle (I_aAI_b)	• Angle (I_bBI_c)	• Angle (I_cCI_a)

• Hauteur (I_aA)	• Hauteur (I_bB)	• Hauteur (I_cC)

Étude métrique du triangle (ABIc)

• Côté (AB)

• Côté (IcA)

• Côté (IcB)

• Angle IaIcIb

• Angle BAIc

• Angle ABIc


• Périmètre du triangle (ABIc)		• Surface du triangle (ABIc)

Étude métrique du triangle (ACIb)

• Côté (AC)

• Côté (IbA)

• Côté (IbC)

• Angle IaIbIc

• Angle CAIb

• Angle ACIb

• Périmètre du triangle (ACIb)		• Surface du triangle (ABIc)

Étude métrique du triangle (BCIa)

• Côté (BC)

• Côté (IaB)

• Côté (IaC)

• Angle IbIaIc

• Angle CBIa

• Angle BCIa

• Périmètre du triangle (BCIa)		• Surface du triangle (BCIa)

Le point de Nagel (N) est le conjugué isotomique du point Gergonne (1771 - 1859)

* Conjugués : se dit pour des élements géométriques qui ont la même fonction (liés par la même fonction).

* Le point de Gergonne (J) est le point unique de concourence des trois droites reliant les sommets d'un triangle (ABC) aux points de contact du cercle inscrit dans ce triangle (les droites Aa1, Ba2 et Ca sur la figure ci-dessous).
M1, M2, M3 = les points de milieu des côtés (BC, AC et AB) du triangle (ABC)
a1, a2, a3 = points de contact
T1, T2, T3 = les trois points de contact des trois cercles exinscrits aux côtés (AB, AC, BC) du triangle (ABC).

Un conjugué isotomique d'un point dans triangle (ABC) : prenons un point (σ) dans un triangle (ABC). (α) , (β) et (γ) sont les pieds des trois céviennes (Aα), (Bβ) et (Cγ) dont le point de concours unique est (σ).
Si (α') , (β') et (γ') sont les points symétriques des points (α) , (β) et (γ) sur les côtés (BC, AC, et AB (respectivement) par rapport aux milieux de ces côtés.
La construction des trois céviennes (Aα'), (Bβ') et (Cγ') montre qu'elles se coupent en un seul point (σ') appelé le conjugué isométrique du point (σ).

La construction géométrique et l'étude métrique montrent que le point "N" de Nagel est le conjugué isotomique du point "J" de Gergonne.

Le point de Nagel est le conjugué isotomique du point de Gergonne

• Segment (AT3)

• Segment (Ba3)

• Segment (T3-a3)

• Segment (AT2)

• Segment (Ca2)

• Segment (T2-a2)

• Segment (BT1)

• Segment (Ca1)

• Segment (T1-a1)

• Angle (BAT1)

• Angle (ABT2)

• Angle (ACT3)

• Angle (CAa1)

• Angle (CBa2)

• Angle (BCa3)

L'étude métrique des triangles formés de chaque côté des milieux des côtés du triangle (ABC) par les droites (Aa1, Ba2 et Ca3) et leurs droites conjuguées isotomiques (AT1, BT2 et CT3), cette étude montre que les surfaces ont des valeurs équivalentes, deux à deux :
    * la surface du triangle (BAT1) = la surface de son triangle isotomique (ACa1) ;
    * la surface du triangle (ABT2) = la surface de son triangle isotomique (BCa2) ;
    * la surface du triangle (ACT3) = la surface de son triangle isotomique (BCa3).
Par ailleurs, ces six triangles ne sont pas semblables (ne sont pas isogones).

• Surface du triangle (BAT1)

• Surface du triangle (ABT2)

• Surface du triangle (ACT3)

• Surface du triangle (ACa1)

• Surface du triangle (BCa2)

• Surface du triangle (BCa3)

Les cercles d'Apollonius de Berge (III^e - II^e siècle avant. J.-C.) d'un triangle (ABC)
Bissectrices (intérieure et extérieure) des angles d'un triangle (ABC)

Chacune des trois bissectrices intérieures (Aa, Bb et Cc) des angles (A, B et C) d'un triangle (ABC) forment avec les bissectrices extérieures (AA', BB' et CC') de ces mêmes angles une angle de (90°).
* (a, b, et c) sont respectivement les points d'intersection des bissectrices intérieures des angles (A, B et C) avec avec les côtés (BC, AC et AB) du triangles (ABC).
* (A', B' et C') sont respectivement les points d'intersection des bissectrices extérieures des angles (A, B et C) avec avec les projections extérieures des côtés (BC, AC et AB) du triangles (ABC).

* Cette construction géométrique aboutit à la formation de trois triangles : [(AaA'), (BbB') et (CcC')] respectivement rectangles en (A, B et C).
* Les trois cercles (Oa, Ob et Oc) circonscrits respectivement aux triangles [(AaA'), (BbB') et (CcC')] sont appelés les "Cercles d'Apollonius de Berge" ; les particularités des ces cercles et de cette construction géométrique sont les suivantes :

    * Les trois centres (Oa, Ob et Oc) des cercles d'Apollonius sont alignés et appartiennent à une même droite nommée "Axe de Lemoine".
    * Les trois points (A', B' et C') sont également alignés.
    * Les trois cercles d'Apollonius (Oa, Ob et Oc) se croisent en deux points communs (M) et (N) nommés les "Points isodynamiques" d'un triangle (ABC).
    * La droite passant par les points (M) et (N) est nommée "l'Axe de Brocard", il est perendiculaire à l'axe (OaObOc) de Lemoine est contient deux points capitaux dans un triangle (ABC), il s'agit le point (O) ou le centre du cercle circonscrit au triangle (ABC) et également le point (K) de Lemoine (point de concours des trois symédianes d'un triangle (ABC).
    * La droite passantr par (M) et (N) est appelé également « l'Axe radical » des trois cercles (Oa, Ob et Oc) ; leurs centres (Oa, Ob et Oc) passent la même droite (Oa-Oc) qui la médiatrice du segment (MN). Cet ensemble de trois cercles à axe radical est un "Pinceau à points de base".

Les trois cercles d'Apollonius d'un triangle (ABC) et les axes de Brocard et de Lemoine

Avertissement concernant l'étude métrique des cercles d'Apollonius :
1- Le triangle (ABC) ne doit pas être ni isocèle, ni équilatéral.
2- Pour obtenir des calculs métriques valables, il faut introduire les valeurs des longueurs des côtés du triangle (ABC) dans cet ordre : de plus court au plus long ➪ (côté 1) < (côté 2) < (côté 3) = (AB) < (AC) < (BC).

Triangle (AaA') rectangle en (A)

• Bissectrice (Aa)

• Côté (aA')

• Côté (AA')

• Segment (Ba)

• Segment (Bc)

• Angle (AaA')

• Angle (AA'a)

• Rayon du cercle circonscrit au triangle (AaA') = le cercle d'Apollonius (Oa)	•

Triangle (BbB') rectangle en (B)

• Bissectrice (Bb)

• Côté (bB')

• Côté (BB')

• Angle (BbB')

• Angle (BB'b)

• Rayon du cercle circonscrit au triangle (BbB') = le cercle d'Apollonius (Ob)	•

Triangle (CcC') rectangle en (C)

• Bissectrice (Cc)

• Segment (cC')

• Segment (CC')

• Angle (CcC')

• Angle (CC'c)

• Rayon du cercle circonscrit au triangle (CcC') = le cercle d'Apollonius (Oc)	•

Triangle (BOaOc')

• Côté (BOa)

• Côté (BOc)

• Côté (OaOc)

• Angle (OaBOc)

• Angle (BOaOc)

• Angle (BOcOa)

• Angle (AObOc)

• Angle (AObOa)

• Angle (AObOc) + (AObOa) =

Cette valeur de (180°) prouve que les centres des cercles d'Apollonius (Oa, Ob et Oc) ) d'un triangle (ABC) sont alignés

Triangle (BA'C')

• Segment (BA')

• Segment (BC')

• Segment (A'C')

• Angle (BA'C')

• Angle (BC'A')

• Angle (A'BC')

• Angle (BB'A')

• Angle (BB'C')

• Angle (BB'A') + (BB'C') =

Cette valeur de (180°) prouve l'alignement des trois points d'intersection entre les bissectrices extérieures du triangle (ABC)
avec les projections extérieures de ses côtés

Les deux centres isodynamiques (Ṁ) et (Ṅ) et l'axe de Brocard d'un triangle (ABC)
La construction des symédianes d'un triangle (ABC) par la construction des cercles d'Apollonius et
le cercle circonscrit au triangle (ABC)

Les trois cercles d'Apollonius (O̊a, O̊b et O̊c) se croisent en deux points communs (Ṁ) et (Ṅ) nommés les "Centres isodynamiques" d'un triangle (ABC). La droite passant par les deux points [(Ṁ) et (Ṅ)] est l'axe radical (ou l'axe de Brocard) des trois cercles d'Apollonius. Cet axe passe également par deux points remarquables du triangle (ABC), il s'agit : * du point (Ȯ) ou le centre du cercle circonscrit au triangle (ABC) ; * du point (K̇) de Lemoine, c'est-à-dire le point de concours des trois symédianes du triangle (ABC). L'axe de Brocard du triangle (ABC) passe aussi par deux points capitaux situés entre le point (Ṁ) et le point (Ṅ), il s'agit : * du point (Ḟ) (sur la figure), c'est le point d'intersection de l'axe de Brocard (MN) avec le côté (AB) du triangle (ABC). Le calcul de la position de ce point (Ḟ) sur le côté (AB) est nécessaire pour la réalisation de certains calculs métriques de la figure ; * du point (Ṡ) résultant de l'intersection de l'axe de Brocard (MN) avec l'axe de Lemoine ou la droite sur laquelle se trouvent les trois centres (Ȯa, Ȯb et Ȯc) des cercles d'Apollonius. Le point (Ṡ) se situe à gauche du centre du cercle (O̊b) d'Apollonius si le rayon cercle (O̊a) d'Apollonius est plus long que le rayon du cercle (O̊c) d'Apollonius. Le point (Ṡ) se situe à droite du centre du cercle (O̊b) d'Apollonius si le rayon cercle (O̊a) d'Apollonius est plus court que le rayon du cercle (O̊c) d'Apollonius. Les symédianes du triangle (ABC) (K̇1), (K̇2) et (K̇3) = les points d'intersection du cercle (O̊) circonscrit au triangle (ABC) avec les trois cercles d'Apollonius (O̊a), (O̊b) et (O̊c) respectivement. Les droites passant par (Ȧ et K̇1 ; Ḃ et K̇2 ; Ċ et K̇3) sont les trois symédianes du triangle (ABC). Le point (K̇) est le point de concours des trois symédianes (AK1, BK2 et CK3), il s'agit du point de Lemoine du triangle (ABC). Ce point est situé sur l'Axe (MN) de Brocard, comme c'est le cas pour le point (Ȯ) ou le centre du cercle circonscrit au triangle (ABC).

Les rapports métriques entre les points situés sur l'axe radical (Axe de Brocard) des trois cercles d'Apollonius
d'un triangle (ABC) : points (M, N, S, F, K, et O)

• Axe (MN) de Brocard

• Segment (OM)

• Segment (ON)

• Segment (OK)

• Segment (KM)

• Segment (KS)

• Segment (OS)

• Segment (OF)

• Segment (MF)

• Segment (NF)

• Segment (KF)

• Segment (FS)

• Segment (AF)

• Segment (BF)

• Segment (BK)

Les rapports métriques entre les deux points isodynamiques (M et N) de l'axe de Brocard et les trois sommets du triangle (ABC)
Ces rapports expliquent le qualificatif (isodynamique) donné aux deux points (M et N) d'un triangle (ABC)

• Segment (AM)

• Segment (BM)

• Segment (CM)

• Segment (AN)

• Segment (BN)

• Segment (CN)

• Côté (BC) × Segment (AM)		• Côté (BC) × Segment (AN)
• Côté (AC) × Segment (BM)		• Côté (AC) × Segment (BN)
• Côté (AB) × Segment (CM)		• Côté (AB) × Segment (CN)

Côté (BC) × Segment (AM) = Côté (AC) × Segment (BM) = Côté (AB) × Segment (CM) =

Côté (BC) × Segment (AN) = Côté (AC) × Segment (BN) = Côté (AB) × Segment (CN) =

(AM) / (AN) = (BM) / (BN) = (CM) / (CN)	= ➪

Segment (AM) × Segment (BN) = = Segment (AN) × Segment (BM) =

Segment (CM) × Segment (BN) = = Segment (CN) × Segment (BM) =

Dans le triangle (ObMOc), l'angle (M̂) a une valeur constante de (60°)
Également dans le triangle (ObNOc), l'angle (N̂) a une valeur constante de (60°)
Il s'agit de deux triangles isométriques, isogoniques semblables

• Angle (MOcOb)

• Angle (ObMOc)

• Angle (MObOc)

• Angle (NOcOb)

• Angle (ObNOc)

• Angle (NObOc)

• Angle (MBN)

L'axe de Lemoine = la droite passant par les centres (Oa, Ob et Oc) des trois cercles d'Apollonius

• Segment (ObOc)

• Segment (OaOb)

• Segment (ObS)

• Segment (OaS)

• Segment (AOc)

• Segment (AOb)

• Segment (BS)

• Angle (BObOa)

• Angle (SMOb)

• Angle (SObM)

• Angle (OaObM)

• Angle (BObM)

• Angle (BObN)

• Angle (AObB)

• Angle (AObM)

• Angle (MOaOc)

• Angle (MOcOa)

Les valeurs des différents angles permettant d'effectuer cette étude métrique

• Angle (BOK)

• Angle (BOC)

• Angle (OBF)

• Angle (BSOa)

• Angle (BSM)

• Angle (OBS)

• Angle (MBS)

• Angle (FBS)

• Angle (ABM)

• Angle (CBM)

• Angle (CAN)

• Angle (FBN)

• Angle (CBN)

• Angle (BNM)

• Angle (ANB)

• Angle (ABN)

• Angle (BAN)

• Angle (BAM)

• Angle (AMB)

• Angle (ACN)

• Angle (AOF)

• Angle (BAO)

• Angle (AFO)

• Angle (AOB)

• Angle (BOF)

• Angle (BFO)

• Angle (AKF)

• Angle (MOcB)

• Angle (MAOc)

• Angle (CAM)

• Angle (NOcOa)

• Angle AOcN)

• Angle (COcM)

• Angle (COcN)

Cercles d'Apollonius, les centres isodynamiques (M) et (N) d'un triangle (ABC) et les bissectrices
intérieures et extérieures des angles (MAN), (MBN) et (MCN)

- L'axe de Brocard (MN) coupe le cercle (O) circonscrit au triangle en deux points :
   * le point (Ṗ) entre les deux centres isodynamiques (Ṁ) et (Ṅ) et
   * le point (Q̇) à l'opposé de du point (P).

- Le segment (PQ) passe par le centre (Ȯ) du cercle circonscrit au triangle (ABC), donc (PQ) et un diamètre de ce cercle.

- La combinaison des points (Ṗ), (Q̇), et les sommets (Ȧ), (Ḃ) et (Ċ) permet de construire trois triangles rectangles avec le segment (PQ) comme une hypoténuse commune, ces triangles sont :

   * le triangle (PAQ) rectangle en (Ȧ), son côté (AP) est la bissectrice intérieure de l'angle (MAN) et son côté (AQ) est la bissectrice extérieure de ce même angle ;
   * le triangle (PBQ) rectangle en (Ḃ), son côté (BP) est la bissectrice intérieure de l'angle (MBN) et son côté (BQ) est la bissectrice extérieure de ce même angle ;
   * le triangle (PCQ) rectangle en (Ċ), son côté (CP) est la bissectrice intérieure de l'angle (MCN) et son côté (CQ) est la bissectrice extérieure de ce même angle.

Cercles d'Amollonius et les bissectrices des angles (MAN), (MBN) et (MCN)

• Angle (MAN)

• Angle (MAP = 1/2 MAN)

• Angle (NAP = 1/2 MAN)

• Angle (MBN)

• Angle (MBP = 1/2 MBN)

• Angle (NBP = 1/2 MBN)

• Angle (MCN)

• Angle (MCP = 1/2 MCN)

• Angle (NCP = 1/2 MCN)



• Hypoténuse (PQ) commune des trois triangles rectangles (PAQ), (PBQ) et (PCQ)


Triangle (PAQ)	• (AP) = Bissectrice interne de (MAN)	• (AQ) = Bissectrice externe de (MAN)
Triangle (PBQ)	• (BP) = Bissectrice interne de (MBN)	• (BQ) = Bissectrice externe de (MBN)
Triangle (PCQ)	• (CP) = Bissectrice interne de (MCN)	• (CQ) = Bissectrice externe de (MCN)

Autres études métriques permettant la réalisation des calculs précédents

• Segment (FP)

• Angle (BFP)

• Angle (FBP)

• Angle (AFP)

• Angle (FAP)

• Angle (CAP)

• Angle (ACP)

Point de Fermat (Pierre Simon - 1601 + 1665) 'F' et de Torricelli (Évangéliste + 1608 -1647) 'T' d'un triangle (ABC)

Dans un triangle ABC acutangle (ayant 3 angles aigus), ou aucun de ses angles n’excède pas les 120°, il y a un seul point nommé point 'T' de Torricelli qui se caractérise par le fait que les trois segments (AT, BT, CT) le reliant aux sommets du triangle ABC forment entre eux trois angles égaux mesurant chacun 120°.
Pour déterminer la position du 'T', il faut construire à l'extérieur du triangle (ABC) trois triangles équilatéraux (ABC', ACB', et BCA') chacun est sur l'un des trois côtés (AB, AC et BC) du triangle (ABC) et leurs côtés sont égales au côté correspondant de ce triangle (ABC). Les trois cercles circonscrits à ces trois triangles ((ABC', ACB', et BCA') ont un point commun, c'est le point 'T' de Torricelli.
Le seul point résultant de l'intersection des trois droites passant par (AA', BB' et CC') est appelé le point de Fermat 'F', ce point coïncide avec le point 'T' de Torricelli du triangle (ABC) quand ce triangle est acutangle.

L'étude métrique de cette figure géométrique montre que les trois segments (AA', BB' et CC') sont de longueurs égales (isométriques) et ils sont également bissectrices des trois angles centraux (ATB = 120°, ATC = 120°, BTC = 120°) d'où la formation de six angles isométriques de 60° chacun.

L'étude métrique montre que dans cette composition géométrique, le triangle (O¹O²O³) dont les trois sommets sont les centres des trois cercles circonscrits aux triangles (ABC', ACB' et BCA') : ce triangle est bien équilatéral. (observer la deuxième figure ci-dessous et l'analyse métrique).

Le triangle (O¹O²O³) est connu dans la littérature sous le nom du « Triangle extérieur de Napoléon » (1769 - 1821). Le trois droites (AO³) ; (BO²) et (CO¹) sont concourantes en un point désigné par la lettre (N₊) et connu sous le nom du « Premier point de Napoléon ».

Si le triangle (ABC) est équilatéral, les deux triangles [(O¹O²O³) et (ABC)] forment une belle figure de polygone hexagone régulier et étoilé . Dans cette figure, le point de Torricelli - Fermat et les centres des cercles circonscrits aux triangles [(O¹O²O³) et (ABC)] et le premier point de Napoléon sont superposés.

Si les trois triangles (ABC', ACB', et BCA') sont construits à l'intérieur du triangle (ABC), les centres des trois cercles circonscrits (O^{1 ;}O^{2 ;}O³) devinent les trois sommets d'un petit triangle équilatéral connu sous le nom du « Triangle intérieur de Napoléon » .

Consulter également :
1 - Théorème de Napoléon d'un triangle (ABC) et ses triangles extérieur et intérieur de Napoléon.
2 - Procédure de (Napoléon - Mascharoni - ) afin de déterminer le centre d'un cercle à l'aide seulement le compas.

Point de Fermat et Torricelli d'un triangle (ABC)

• Segment AA'	•	• Segment BB'	•	• Segment CC'	•

• Angle A'AB	•	• Angle ABB'	•	• Angle ATB	•
• Angle CAA'	•	• Angle ACC'	•	• Angle ATC	•
• Angle CBB'	•	• Angle BCC'	•	• Angle BTC	•

• Segment AT	•	• Segment BT	•	• Segment CT	•
• Segment A'T	•	• Segment B'T	•	• Segment C'T	•

• Angle ATC' = Angle CTA'	•	• Angle BTC' = Angle CTB'	•	• Angle ATB' + Angle BTA'	•

• Angle AC''T	•	• Angle BC''T	•
• Angle BA''T	•	• Angle CA''T	•
• Angle AB''T	•	• Angle CB''T	•

• Segment AC''	•	• Segment BC''	•	• Segment TC''	•
• Segment BA''	•	• Segment CA''	•	• Segment TA''	•
• Segment AB''	•	• Segment CB''	•	• Segment TB''	•

• Segment A'A''	•	• Segment B'B''	•	• Segment C'C''	•

• Rayon du cercle circonscrit au triangle (ABC')	•	• Rayon du cercle circonscrit au triangle (ACB')	•
• Rayon du cercle circonscrit au triangle (BCA')	•	• Rayon du cercle circonscrit au triangle (ABC)	•

• Segment O¹d3	•	• Segment O³d3	•	• Côté O¹O³ du triangle O¹O²O³	•
• Segment O¹d1	•	• Segment O²d1	•	• Côté O¹O² du triangle O¹O²O³	•
• Segment O²d2	•	• Segment O³d2	•	• Côté O²O³ du triangle O¹O²O³	•

• Côté A'B' du triangle A'B'C'	•	• Côté A'C' du triangle A'B'C'	•	• Côté B'C' du triangle A'B'C'	•

Point de Fermat et Torricelli d'un triangle ABC équilatéral et la formation d'un polygone hexagone régulier et étoilé

Triangle intérieur de Napoléon du triangle (ABC)

Théorème de Napoléon - Aire d'un triangle (ABC) égale l'aire du triangle extérieur de Napoléon moins l'aire du triangle intérieur de Napoléon

Théorème de Napoléon d'un triangle (ABC) - Triangle extérieur et intérieur de Napoléon

Théorème de Napoléon (Bonaparte ; 1769 - 1821) pour un triangle (ABC)

* Soit (ABC', ACB', et BCA') trois triangles équilatéraux construits chacun sur et à l'extérieur de l'un des trois côtés (AB, AC et BC) du triangle (ABC) et leurs côtés sont égaux aux côtés correspondants de ce triangle (ABC).

* Soient (O_1,O₂, O₃) les centres des trois cercles circonscrits aux triangles extérieurs (ABC', ACB' et BCA').
Soit (O₁O₂O₃) le triangle dont les trois sommets sont les centres des trois cercles circonscrits aux triangles (ABC', ACB' et BCA') : il s'agit d'un triangle équilatéral appelé le « triangle extérieur de Napoléon pour un triangle (ABC) ».

En construisant cette fois les triangles (ABC'', ACB'', et BCA'') sur et à l'intérieur des trois côtés (AB, AC et BC) du triangle (ABC) et leurs côtés sont égaux au côté correspondant de ce triangle (ABC), on obtient le triangle intérieur (Θ₁Θ₂Θ₃) dont les trois sommets sont les centres des cercles circonscrits aux triangles intérieurs (ABC'', ACB'' et BCA'').

* Le triangle intérieur (Θ₁Θ₂Θ₃) est également équilatéral, il est appelé le « triangle intérieur de Napoléon pour un triangle (ABC) ».

* Soient :
(S1) = l'aire d'un triangle (ABC) ;
(S2) = l'aire du triangle extérieur de Napoléon (O₁O₂O₃) ;
(S3) = l'aire du triangle intérieur de Napoléon (Θ₁Θ₂Θ₃).

* Selon le Théorème de Napoléon :

(S1) = [(S2) - (S3)] ou
(S3) = [(S2) - (S1)] ou également
[(S2) - (S1)] / (S3) = 1
Cela signifie :
L'aire du triangle (ABC) = [l'aire du triangle extérieur de Napoléon (O₁O₂O₃)] - [l'aire du triangle intérieur de Napoléon (Θ₁Θ₂Θ_3)].

• Segment (AΘ₁)

• Segment (AΘ₂)

• Segment (BΘ₃)

• Angle (Θ₁AΘ₂)

• Angle (Θ₁BΘ₃)

• Angle (Θ₂CΘ₃)

Triangle intérieur de Napoléon (Θ₁Θ₂Θ₃) - Triangle équilatéral

• Côté (Θ₁Θ₂)

• Côté (Θ₁Θ₃)

• Côté (Θ₂Θ₃)

• (S3) Aire du triangle (Θ₁Θ₂Θ₃)

Triangle extérieur de Napoléon (O₁O₂O₃) - Triangle équilatéral

• Côté (O₁O₂)

• Côté (O₁O₃)

• Côté (O₂O₃)

• (S2) Aire du triangle (O₁O₂O₃)

Rapport [(S2) / (S3)] = (Aire du triangle (O₁O₂O₃) / (Aire du triangle (Θ₁Θ₂Θ₃) =

Rapport [(S1) / (S3)] = (Aire du triangle (ABC) / (Aire du triangle (Θ₁Θ₂Θ₃) =

Rapport [(S2) / (S1)] = (Aire du triangle (O₁O₂O₃) / (Aire du triangle (ABC) =

Les deux points de Brocard (Henri - 1845 - 1922) nommés (Q et Q', ou K et K') d'un triangle (ABC)
Étude métrique
Ces deux points ont été découverts antérieurement, en 1884 par A. L. Grelle.

En dessinant trois cercles au triangle (ABC) : le premier cercle passe par les deux sommets (A) (B) et tangent au côté (BC) en (B) ; le deuxième cercle passe par les deux sommets (B) et (C) et tangent au côté (AC) en (C) ; puis le troisième cercle passe par (A) et (C) et tangent au côté (AB) en (A). Ces trois cercles passent par un même point appelé "Premier point de Brocard". Il est désigné par la lettre (Q ou K).
En dessinant trois cercles au triangle (ABC) : le premier cercle passe par les deux sommets (A) (B) et tangent au côté (AC) en (A) ; le deuxième cercle passe par les deux sommets (B) et (C) et tangent au côté (AB) en (B) ; puis le troisième cercle passe par (A) et (C) et tangent au côté (BC) en (C). Ces trois cercles passent par un même point appelé "Deuxième point de Brocard". Il est désigné par la lettre (Q' ou K').
En réalisant l'étude métrique pour cette configuration trigonométrique, on constate les particularités suivantes :
1. Les trois cercles permettant la mise en évidence du " Premier point de Brocard - Q " ne sont pas isométriques par rapport aux trois cercles déterminant le " Deuxième point de Brocard - Q' ".
2. Les centres des trois cercles du "Premier point de Brocard", c'est-à-dire (O₁, O₂, O₃) sont les sommets du triangle (O₁O₂O₃) dans la figure (Q) (ou O₁O₂O₃ / Q).
3. Les centres des trois cercles du "Deuxième point de Brocard", c'est-à-dire (O1, O2, O3) sont les sommets du triangle (O₁O₂O₃) dans la figure (Q') (ou O₁O₂O₃ / Q').
4. Ces deux triangles (O₁O₂O₃ / Q) et (O₁O₂O₃ / Q') sont isométriques (ayant les mêmes longueurs de côtés) et isogoniques (ayant les mêmes valeurs angulaires) et semblables avec :
  1. Le côté (O₁O₂) / Q = côté (O₁O₃) / Q' ; le côté (O₁O₃) / Q = côté (O₂O₃) / Q' et le côté (O₂O₃) / Q = côté (O₁O₂) / Q'.
  2. L'angle (O₂O₁O₃) / Q = l'angle (O₁O₃O₂) / Q' = l'angle (Z2) du triangle (ABC).
    L'angle (O₁O₂O₃) / Q = l'angle (O₂O₁O₃) / Q' = l'angle (Z1) du triangle (ABC).
    L'angle (O₁O₃O₂) / Q = l'angle (O₁O₂O₃) / Q' = l'angle (Z3) du triangle (ABC).
  3. Donc les trois triangles : (O₁O₂O₃ / Q) et (O₁O₂O₃ / Q') et (ABC) sont semblables et seulement les deux triangles (O₁O₂O₃ / Q) et (O₁O₂O₃ / Q') sont isométriques.
5. Dans la figure du point (Q) de Brocard les trois angles : (QAB ; QBC et QCA) sont isogoniques (ayant les mêmes valeurs angulaires) et ils sont isogoniques avec les trois angles (Q'AC; Q'BA et Q'CB) de la figure du point (Q').
6. L'angle (QBA) de la figue (Q) = l'angle (Q'BC) de la figue (Q') - L'angle (AQB) de la figue (Q) = l'angle (BQ'C) de la figure (Q').
7. L'angle (QAC) de la figure (Q) = l'angle (Q'AB) de la figue (Q') - L'angle (AQC) de la figure (Q) = l'angle ( AQ'B) de la figure (Q').
8. L'angle (QCB) de la figure (Q) = l'angle (Q'CA) de la figue (Q') - L'angle (BQC) de la figure (Q) = l'angle ( AQ'C) de la figure (Q').

Premier point de Brocard d'un triangle ABC

Deuxième point de Brocard d'un triangle ABC

• Rayon du cercle passant par (A et B) et tangent à (BC) en (B) - Premier point de Brocard (Q)	•
• Rayon du cercle passant par (A et C) et tangent à (AB) en (A) - Premier point de Brocard (Q)	•
• Rayon du cercle passant par (B et C) et tangent à (AC) en (C) - Premier point de Brocard (Q)	•

• Rayon du cercle passant par (A et B) et tangent à (AC) en (A) - Deuxième point de Brocard (Q')	•
• Rayon du cercle passant par (A et C) et tangent à (BC) en (C) - Deuxième point de Brocard (Q')	•
• Rayon du cercle passant par (B et C) et tangent à (AB) en (B) - Deuxième point de Brocard (Q')	•

Les côtés et les angles du triangle dont les sommets sont les centres des trois cercles produisant le premier point de Brocard (Q)
• Côté (O₁O₂)	•	• Côté (O₁O₃)	•	• Segment O₂O₃	•

• Angle (O₂O₁O₃) = Z2	•	• Angle (O₁O₂O₃) = Z1	•	• Angle (O₁O₃O₂) = Z3	•

Les côtés et les angles du triangle dont les sommets sont les centres des trois cercles produisant le deuxième point de Brocard (Q')
.• Côté (O₁O₂) / Q'	•	.• Côté (O₁O₃) / Q'	•	.• Côté (O₂O₃) / Q'	•

• Angle (O₂O₁O₃) / Q' = Z1	•	• Angle (O₁O₂O₃) / Q' = Z3	•	• Angle (O₁O₃O₂) / Q' = Z2	•

Les côtés et les angles du triangle intérieur (AQB) résultant de la construction du premier point de Brocard (Q)
• Côté AQ	•	• Côté BQ	•	• Côté AB	•

• Angle (QAB)	•	• Angle (QBA)	•	• Angle (AQB)	•
Les côtés et les angles du triangle intérieur (AQC) résultant de la construction du premier point de Brocard (Q)
• Côté AQ	•	• Côté CQ	•	• Côté AC	•

• Angle (QAC)	•	• Angle (QCA)	•	• Angle (AQC)	•
Les côtés et les angles du triangle intérieur (BQC) résultant de la construction du premier point de Brocard (Q)
• Côté BQ	•	• Côté CQ	•	• Côté BC	•

• Angle (QBC)	•	• Angle (QCB)	•	• Angle (BQC)	•

Les côtés et les angles du triangle intérieur (AQ'B) résultant de la construction du deuxième point de Brocard (Q')
• Côté AQ'	•	• Côté BQ'	•	• Côté AB	•

• Angle (Q'AB)	•	• Angle (Q'BA)	•	• Angle (AQ'B)	•
Les côtés et les angles du triangle intérieur (AQ'C) résultant de la construction du deuxième point de Brocard (Q')
• Côté AQ'	•	• Côté CQ'	•	• Côté AC	•

• Angle (Q'AC)	•	• Angle (Q'CA)	•	• Angle (AQ'C)	•
Les côtés et les angles du triangle intérieur (BQ'C) résultant de la construction du deuxième point de Brocard (Q')
• Côté BQ'	•	• Côté CQ'	•	• Côté BC	•

• Angle (Q'BC)	•	• Angle (Q'CB)	•	• Angle (BQ'C)	•

(QQ') ou la distance séparant le premier point du deuxième point de Brocard dans un triangle (ABC) et les valeurs métriques des angles de projection des sommets (A,B, C) vers ce segment QQ'
• Angle (QAQ')	•	• Angle (QBQ')	•	• Angle (QCQ')	•

		• Distance entre (Q et Q')	•

Moulin à vent ou "figrue de Vecten" ou également "figure d'Euclide"

* La figure de Vecten est une construction géométrique à partir d'un triangle (ABC) habituellement rectangle [mais dans cette présentation, j'utilise n’importe quel triangle non obtusangle dans le but de généraliser l'étude métrique de cette figure, avec la possibilité, à l'introduction, d'analyser le cas spécifique du triangle rectangle].

* On obtient le moulin à vent en établissant à l'extérieur (ou à l'intérieur) du triangle (ABC) : sur le côté (AB) on construit un carré de surface égale à (AB)² ; sur le côté (AC) on construit un carré de surface égale à (AC)² et sur le côté (BC) on construit un carré de surface égale à (BC)².

* Les trois cercles circonscrits aux quatre carrés obtenus ont des centres nommés dans la présente figure (M₁ pour le carré / AB), (M₂ pour le carré / AC) et (M₃ pour le carré / BC).
Les trois centres (M₁, M₂, M₃) sont les sommets d'un triangle (M₁M₂M₃) nommé le « Triangle de Vecten ». Quand le triangle (ABC) est non isogonique, le triangle (M₁M₂M₃) est également non isogonique.

* Selon le théorème de Neuberg :
Si les points (Q, R et S) sont les centres des carrés construits sur et intérieurement aux côtés du triangle de Vecten (M1M2M3), alors ces points se situent respectivenent sur et au milieu des côtés (AB, AC et BC) du triangle (ABC).

* Les trois segments (AM₃, BM₂ et CM₁) reliant chaque sommet du triangle (ABC) au centre du cercle opposé ont la particularité d'être les répliques des côtés du triangle (M₁M₂M₃) :
(AM₃ = M₁M₂) ; (BM₂ = M₁M₃) et (CM₁ = M₂M₃).

* Les trois segments (AM₃, BM₂ et CM₁) sont concourants en un seul point unique nommé sur la figure (point X) il s'agit du « Point de Vecten », donc ces segments sont des céviennes dans le triangle (ABC).
* Les trois segments (AM₃, BM₂ et CM₁) sont également les hauteurs du triangle de Vecten (M₁M₂M₃) et le « Point de Vecten ») est son orthocentre ; enfin, le cercle circonscrit à ce triangle est appelé « Cercle de Vecten ».

* Les segments (AM₃, BM₂ et CM₁) divisent les angles des sommets du triangle (M₁M₂M₃) en six angles isogoniques pair par pair :
(angle CM₁M₃ = BM₂M₃) ; (angle AM₃M₁ = BM₂M₁) ; (angle AM₃M₂ = CM₁M₂).

L'addition des angles (AM₃M₂ + M₁M₂M₃) = 90° degrés, et l'addition des angles (BM₂M₃ + M₁M₃M₂) = 90° degrés, et enfin (CM₁M₂ + M₁M₂M₃) = 90° degrés. Cela signifie que les triangles (M₃N₂M₂, M₁N₄M₂ et M₂N₆M₁) sont des triangles rectangles en (N₂, N₄, N₆) et les côtés [(M₃N₂ (du segment AM₃) ; M₁N₄ (du segment CM₁) et M₁N₆ (du segment BM₂)] sont les trois hauteurs du triangle (M₁M₂M₃) et les points (N₂, N₄ et N₆) sont les pieds de ces hauteurs.

On peut conclure que le point nommé (X) dans le triangle (ABC) est en vérité le point de concours des trois hauteurs du triangle (M₁M₂M₃), c'est-à-dire le point nommé habituellement 'H' ou l'orthocentre de ce dernier triangle.

Les trois cercles circonscrits aux trois carrés [ABYU (centre M1) - ACJB' (centre M2) - BCLA' (centre M3)]

• Rayon du cercle (M₁)

•

• Rayon du cercle (M₂)

•

• Rayon du cercle (M₃)

•

Étude métrique du triangle ( M₁M₂M₃) dont les sommets sont les centres des trois cercles circonscrits au carrés (ABYU, ACJB', BCLA')

• Côté M₁M₂

•

• Côté M₁M₃

•

• Côté M₂M₃

•

• Segment AM₃

•

• SegmentBM₂

•

• Segment CM₁

•

• Angle M₂M₁M₃

•

= Angle CM1M2

•

+ Angle CM1M3

•

• Angle M₁M₂M₃

•

= Angle BM2M1

•

+ Angle BM2M3

•

• Angle M₁M₃M₂

•

= Angle AM3M1

•

+ Angle AM3M2

•

• Angle M₁N₄M₂

•

• Angle M₁N₂M₃

•

• Angle M₁N₆M₂

•

Division des segments AM₃ - BM₂ - CM₁ (chacun relie un sommet du triangle (ABC) au centre du carré opposé)
Curieusement la longueur de chacun de ses segments est égale à la longueur du côté le croisant du triangle ( M₁M₂M₃)

• Segment AX

•

• Segment M₃X

•

• Segment M₃N₅

•

• Segment BX

•

• Segment M₂X

•

• Segment M₂N₃

•

• Segment CX

•

• Segment M₁X

•

• Segment M₁N₁

•

• Segment AN₅

•

• Segment BN₃

•

• Segment CN₁

•

La position des points (N₁ - N₃ - N₅) de croisement des segments (AM₃ - BM₂ - CM₁) avec les trois côtés du triangle (ABC)

• Segment AN₁

•

• Segment BN₁

•

• Segment N₁X

•

• Segment AN₃

•

• Segment CN₃

•

• Segment BN₅

•

• Segment CN₅

•

[Segment (AN₁) /Segment (BN₁)] * [Segment (BN_{5) /Segment (CN₅)] * [Segment (CN₃) /Segment (AN₃)] =

Selon le théorème de Céva (Giovanni ou Jean - 1648 - 1734), dans un triangle (ABC), quand la formule précédente est égale à (1), alors les trois segments (AM₃ - BM₂ - CM₁) sont concourants à un seul point (nommé dans la présente construction 'X').

Les segments (AM₃ - BM₂ - CM₁) sont décrits comme étant des céviennes ; c'est le cas pour d'autres éléments du triangle (ABC) : ses hauteurs, ses médianes, ses médiatrices et ses bissectrices internes.}

L'étude métriques des différents angles composant cette construction et nécessaires pour réaliser les calculs géométriques

• Angle AM₁M₂

•

• Angle AM₂M₁

•

• Angle AM₁M₃

•

• Angle BM₁M3

•

• Angle BM₃M₁

•

• Angle BCM₁

•

• Angle BM₁C

•

• Angle BN₁C

•

• Angle ABM₂

•

• Angle AM₂B

•

• Angle CBM₂

•

• Angle BCM₂

•

• Angle BM₂C

•

• Angle AN₃M₂

•

• Angle AM₂N₃

•

• Angle AM₂N₃

• Angle BAM₃

•

• Angle AM₃B

•

• Angle BN₅M₃

•

La figure de "Vecten" suivante montre le principe de son utilisation pour approuver le théorème de Pythagore :
Dans un triangle rectangle en (C) le théorème de Pythagore démontra que [(AB)² = (AC)² + (BC)²]

Dans la présente étude métrique de la figure du Moulin à vent, quand on introduit les trois côtés d'un triangle rectangle avec le côté (AB) comme étant l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit en (C) d'un triangle rectangle ABC) on constate que la surface du carré [(ACJB') = (AC)²] est égale à la surface du rectangle (AaC₁U) et la surface du carré [(BCLA' = (AC)²] est égale à la surface du rectangle (BYC₁a), tout en sachant que les deux rectangles ( (AaC₁U et BYC₁a) forment ensemble le carré (ABYU) dont la surface est égale à (AB)².

Moulin à vent approuvant le théorème de Pythagore

• Segment AA'

•

• Segment BB'

•

• Hauteur Ca

•

• Segment Aa

•

• Segment Ba

•

• Surface du rectangle AaC₁U

•

• Surface rectangle BaC₁Y

•

• Surface AaC1U + BaC₁Y

•

• Surface du carré ACJB'

•

• Surface du carré BCLA'

•

• Surface BCLA' + ACJB'

•

La figure suivante montre que les trois segments (Hauteur Ca du triangle ABC, le segment AA' et le segment BB')
sont concourants en un seul point nommé dans figure (X²)

Droite de Simson (ou Simpson Robert - 1687 - 1768) d'un triangle (ABC)

De chaque point ‘M’ du cercle circonscrit au triangle ABC, si on abaisse une perpendiculaire sur les trois côtés de ce triangle, on constate que les trois pieds de ces perpendiculaires sont toujours alignés sur une droite appelée ‘Droite de Simson’.
Pour chaque point ‘M’ du cercle circonscrit au triangle ABC correspond une droite de Simson. En multipliant la construction de l'opération, les droites de Simson obtenues recouvrent une surface plan de forme deltoïde.

Droite de Steiner (Jakob 1796 - 1863) et ses liens avec la droite de Simpson

Droite de Steiner d'un point "M" du cercle circonscrit à un triangle (ABC) - Le point "M" est à la base de la construction de la droite de Simson.
La droite de Seiner est construit par l'homothétie du point 'M' et de rapport (2).

Le point (M1) est symétrique de 'M' par rapport au côté (AC) du triangle (ABC) ; le point (M2) est symétrique de 'M' par rapport au côté (BC) du triangle (ABC) et le point (M3) est symétrique de 'M' par rapport au côté (AB) du triangle (ABC).

La droite de Steiner passe par les trois points (M1, M2 et M3) et également par l'orthocentre (point 'H') du triangle (ABC).

Homothétie : propriété de deux figures dont chaque point de l'une correspond à un point de l'autre sur des droites menées à partir d'un point fixe appelé centre d'homothétie, la distance entre ces points correspondants étant constante.Homothétie directe, inverse. Ayant choisi un point S qu'on nomme centre d'homothétie et un nombre k qu'on nomme rapport d'homothétie ou rapport de similitude, on appelle homothétique d'un point quelconque M le point M' obtenu en joignant SM et prenant à partir du point S, sur cette droite ou sur son prolongement un segment SM' tel que SM'/SM = k (JACQUES HADAMARD , Géométrie plane,1898, page 134

Droite de Steiner et sa relation avec la droite de Simpson

Point et cercle de Miquel (1816 - 1851) d'un quadrilatère complet (ABCDEF)

* Le triangle (ABC) est traversé par la droite Δ qui croise le côté (BC) en ‘D’, le côté (AC) en ‘E’ et le côté (AB) en ‘F’. Quatre triangles sont construits : (ABC), (AEF), (BDF) et (CEF) ; ces quatre triangles forment ensemble un quadrilatère complet (ABCDEF).

* Les quatre cercles circonscrits aux quatre triangles ont un seul point commun, c’est le "Point ‘M’ de Miquel".

* Les centres (O1, O2, O3 et O4) des quatre cercles et le point 'M' de Miquel sont cocycliques (situés sur un même cercle), ce cercle est nommé le "Cercle de Miquel".

Le point et le cercle de Miquel d'un quadrilétère complet

Le point du théorème du pivot (ou théorème de Miquel) d'un triangle (ABC)

* Le triangle (ABC) est inscrit dans le triangle (DEF), ses trois sommets (ABC) sont en contact avec les côtés du triangle (DEF).
* De cette construction trois triangles sont créés enveloppant le triangle (ABC) : les triangles (ABF), (ACE) et (BCD).

* Les trois cercles circonscrits aux triangles (ABF), (ACE) et (BCD) concourent en point commun et unique, c’est le point qui fut étudié dans le théorème du pivot et démontré en 1838 par Miquel (1816 - 1851) d'où son nom dans certaines références : "Point de Miquel - Point M".

Point du théorème du pivot d'un triangle (ABC)

Consulter également :

Auteur : Dr Aly ABBARA
aly-14 Mars, 2025w1 -->3 Juin, 2024

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