Pour construire une antiparallèle d'un côté dans un triangle (ABC) :

* Établir une parallèle quelonque au côté (AB) coupant le côté (AC) en (P1) et le côté (CB) en (P₂)
* Établir un cercle dont le centre est le sommet (C) du triangle (ABC) passant en (P₁) et coupant le côté (BC) en (Q₁)
* Établir un deuxième cercle dont le centre est le sommet (C) passant en (P₂) et coupant le côté (AC) en (Q₂)

La droite passant par les deux points (Q₁-Q₂) est une antiparallèle au côté (AB) du triangle (ABC).
Avec la même technique on peut construire une deuxième antiparallèle (Q₃-Q₄) au côté (AB) du triangle (ABC).

Les deux triangles [(Q₁CQ₂) et (Q₃CQ₄)] sont semblables et semblables au trianglle (ABC) :
L'angle (Q₁) = (Q₃) = (BAC) et l'angle (Q₂) = (Q₄) = (ABC).

La droite (CC') passant par le sommet (C) du triangle (ABC) et par les milieux des deux antiparallèles (Q₁Q₂ et Q₂Q₃) est une symédiane issue du sommet (C) dans le triangle (ABC).

De la même façon de faire, on peut construire les deux autres symédianes du triangle (ABC) : (BB') issue du sommet (B) et (AA') issue du sommet (A).
Les trois symédianes (AA', BB' et CC') concourent au même point, il s'agit du point (K) de Lemoine.

Le point "K" est le centre du second cercle de Lemoine et le second hexagone de Lemoine formé par la construction de trois antiparallèles dans un triangle (ABC) passant par le point "K'.

Le principe utilisé dans cette page pour construire les trois symédianes du triangle (ABC) est basé sur la notion que la symédiane d'un côté du triangle passe au milieu de toutes les antiparallèles de ce côté, par contre la médiane d'un côté passe par le milieu de toutes les parallèles à ce même côté.

Antiparallèles :
Se dit d'une paire de droites par rapport à une autre, quand les bissectrices des deux premières droites sont parallèles à celles des deux secondes.
(Grand Robert de la langue française - Version électronique 2005).

Antiparallèles :
Lignes ou droites antiparallèles. Qui, tout en n'étant pas parallèles, mais situées dans le même plan, forment avec une troisième droite des angles égaux et dirigés en sens contraire.
(Trésors de la Langue Française).

Symédiane : droite issue d'un sommet d'un triangle et symétrique de la médiane (par rapport à la bissectrice intérieure).
(Grand Robert de la langue française - Version électronique 2005).