Les sangakus : tablettes mathématiques tablettes de bois présentes dans certains temples japonais ; ils évoquent des énigmes de géométrie euclidienne gravées.

*Les principes du « Vieux théorème japonais » ou le « Sangaku japonais » :

°- Soit (PΘ) un polygone convexe (irrégulier ou régulier) inscrit dans un cercle (Θ) et ayant (n) côtés sous condition que (n ≥ 4).

° - Le polygone (PΘ) possède (n - 3) diagonales permettant de multiples choix de découpage (triangulation) en (n - 2) triangles.

° - Selon le « Théorème japonais » :
      * - La somme des rayons des cercles inscrits dans les triangles résultants de découpage du polygone (PΘ) est toujours la même quelque soit le choix du découpage.

Dans cet exemple proposé, l’hexgone irrégulier (ABCDEF) est découpé selon deux choix en 4 triangles différents :

- Choix (1) : ∆-(ABC), ∆-(ACD), ∆-(ADE) et ∆-(AEF).
- Choix (2) : ∆-(BAF), ∆-(BFE), ∆-(BED) et ∆-(BDC).

La somme des rayons des cercles inscrits dans la première série de triangles est parfaitement identique à la somme des rayons des cercles inscrits dans les triangles de la deuxième série.

Sur la première figure présentée dans cet article :

  - ∆-(ABC) : les côtés (AB), (AC) et (BC) valent respectivement (14.92 / 23.64 / 14.27).
Rayon (R1) du cercle inscrit dans ce triangle vaut = 3.8296530768221233.

  - ∆-(ACD) : les côtés (AC), (AD) et (CD) valent respectivement (23.64 / 24.69 / 11.49).
Rayon (R2) du cercle inscrit dans ce triangle vaut = 4.489579107409186.

  - ∆-(ADE) : les côtés (AD), (AE) et (DE) valent respectivement (24.69 / 19.26 / 12.85).
Rayon (R3) du cercle inscrit dans ce triangle vaut = 4.3088966677048255.

  - ∆-(AEF) : les côtés (AE), (AF) et (EF) valent respectivement (19.26 / 10.77 / 10.60).
Rayon (R4) du cercle inscrit dans ce triangle vaut = 2.1944575557116233.

(R1) + (R2) + (R3) + (R4) = 14.8.

Sur la deuxième figure présentée dans cet article :

  - ∆-(BAF) : les côtés (BA), (BF) et (AF) valent respectivement (14.92 / 22.13 / 10.77).
Rayon (R'1) du cercle inscrit dans ce triangle vaut = 2.9654987245097586.

  - ∆-(BFE) : les côtés (BF), (BE) et (EF) valent respectivement (22.13 / 24.99 / 10.60).
Rayon (R'2) du cercle inscrit dans ce triangle vaut = 4.059431691122004.

  - ∆-(BED) : les côtés (BE), (BD) et (ED) valent respectivement (24.99 / 22.10 / 12.85).
Rayon (R'3) du cercle inscrit dans ce triangle vaut = 4.731627489426732.

  - ∆-(BDC) : les côtés (BD), (BC) et (DC) valent respectivement (22.10 / 14.27 / 11.49).
Rayon (R'4) du cercle inscrit dans ce triangle vaut = 3.031467725927312.

(R'1) + (R'2) + (R'3) + (R'4) = 14.8 = (R1) + (R2) + (R3) + (R4)

Consulter également :

° - Le Théorème japonais pour un quadrilatère convexe cyclique.
° - Le théorème japonais de Carnot Lazare (1803) dans triangle (ABC).
Ce théorème a permis de résoudre l'énigme géométrique du « Vieux théorème japonais ».