Introduction :

° - (ABCD) = Quadrilatère convexe inscrit dans le cercle dont le centre est (O) ; (AC) et (BD) sont ces deux diagonales.

* - De la triangulation du quadrilatère (ABCD) résulte la formation de quatre triangles : (ABC), (ACD), (BCD) et (BAD).

D’après le théorème japonais d’un quadrilatère cyclique :

Les centres (Θ1, Θ2, Θ3, et Θ4) des cercles inscrits dans les triangles (ABC), (ACD), (BCD) et (BAD) sont les quatre sommets d’un rectangle (Θ1Θ2Θ3Θ4).

Si :
(r1) = rayon du cercle (Θ1) inscrit dans le triangle (ABC) ;
(r2) = rayon du cercle (Θ2)inscrit dans le triangle (ACD) ;
(r3) = rayon du cercle (Θ3) inscrit dans le triangle (BCD) ;
(r4) = rayon du cercle (Θ4) inscrit dans le triangle (BAD) ;
alors :
(r1) + (r2) = (r3) + (r4).

Consulter également :

* - Le « Vieux théorème japonais » pour un polygone convexe.
* - Le théorème japonais de Carnot Lazare (1803) dans triangle (ABC).