° Consulter : procédés de construction des heptagones réguliers

Les valeurs des principaux angles d'un heptagone régulier (ABCDEFG) (polygone à sept côtés) :

(Θ) = le cercle circonscrit au heptagone régulier (ABCDEFG) ; son centre est (O) et son rayon est (AO).

* Le triangle principal (ADE) :
  - Triangle isocèle dont l'angle du sommet (DAE) est égal à (π/7), soit (0.448798950512827) radian = (25.714285)°. Il s'agit de l'angle au sommets de l'heptagramme (étoile régulière à sept branches).
  - Les deux angles latéraux de la base (angles ADE et AED) qui valent chacun : (3π/7), soit (1.34639685153848) radian = (77.142857)°.

* Le triangle (BOC) :
  - Triangle isocèle dont l'angle du sommet (BOC) est égal à (2π/7), soit (0.897597901025654) radian = (51.428571)°. Il s'agit de l'angle au centre de l'heptagone.
  - Les deux angles latéraux de la base (angles OBC et OCB) qui valent chacun : (5π/14), soit (1.12199737628207) radian = (64.285714)°.

* Le triangle (BOG) :
  - Triangle isocèle dont l'angle du sommet (BOG) est égal à (4π/7), soit (1.79519580205131) radian = (102.857142)°. Il s'agit du double de l'angle au centre de l'heptagone.
  - Les deux angles latéraux de la base (angles OBC et OCB) qui valent chacun : (3π/14), soit (0.673198425769241) radian = (38.571428)°.

* Le triangle (ABG) :
  - Triangle isocèle dont l'angle du sommet (BAG) est égal à (5π/7), soit (2.24399475256414) radian = (128.571428)°. Il s'agit de l'angle interne de l'heptagone régulier convexe (ABCDEFG).
  - Les deux angles latéraux de la base (angles ABG et AGB) qui valent chacun : (π/7), soit (0.448798950512827) radian = (25.714285)°.

* L'étude métrique de l'heptagone régulier et l'heptagramme (étoile régulière à sept branches) :

Pour réaliser cette étude j'utilise deux éléments trigonométriques qui sont les suivants :

  1- (R) = le rayon du cercle dans lequel l'heptagone (ABCDEFG) est inscrit.

  2- La constante (⊙) (je nomme Constante HEPTA) qui permet de calculer toutes les composantes métriques, algébriques et trigonométriques d'un heptagone régulier. Il s'agit d'une constante dont la valeur numérique est :
  - (⊙) = 0.8019377358 0483825247 2204639014 8901023318 3832426371 4300107124 8463714300 1071248463 9886484085 5879931002
7229094370 2248173... (117 décimaux).

ou plus courte :
  - (⊙) = 0.801937735804838 (15 décimaux).

  - (⊙) peut être calculée simplement par les formules suivantes : (⊙) = {[2 * cos(π/7)] - 1} = 1 / [2 * cos(2π/7)] = 1 / [2 * sin(3π/14)].

  - Consulter également l'analyse graphique de la constante HEPTA.

  3- La constante (S) = Silver constant qui vaut [2 + 2cos(2π/7)] = 3.24697960371747  ⇒ S = [(1 / ⊙) + 2] = (⊙ + 1)².
  - (⊙) est égale à [1 / (S - 2)].

Étude trigonométrique des angles formés par le croisement des différents segments et côtés d'un heptagone régulier
• sin(π/7) sin(25.714285)° = sin(25 + 5/7)° = 0.433883739117558 = 0.5 * √(2 - 1/⊙) = 0.5 * √(1/⊙2 - ⊙) = 0.5 * √(3 - ⊙2 - 2⊙) • cos(π/7) cos(25.714285)° = cos(25 + 5/7)° = 0.900968867902419 = 0.5 * (⊙ +1) = 0.5 * {1/⊙ + [1/(⊙ + 1)]} • sin(2π/7) sin(51.428571)° = sin(51 + 3/7)° = 0.781831482468031 = 0.5 * [⊙√(⊙ + 3)] = √(1 - 1/4⊙2) • cos(2π/7) cos(51.428571)° = cos(51 + 3/7)° = 0.623489801858734 = (1 / 2⊙) • sin(3π/7) sin(77.142857)° = sin(77 + 1/7)° = 0.974927912181823 = 0.5 * √(⊙ + 3) • cos(3π/7) cos(77.142857)° = cos(77 + 1/7)° = 0.222520933956314 = 0.5 * √(1 - ⊙) = 0.5 * [⊙/(⊙ + 1)] • sin(4π/7) sin(102.857142)° = sin(102 + 6/7)° = 0.974927912181824 = 0.5 * √(⊙ + 3) • cos(4π/7) cos(102.857142)° = cos(102 + 6/7)° = -0.222520933956313 = - 0.5 * √(1 - ⊙) = - 0.5 * [⊙/(⊙ + 1)] • sin(5π/7) sin(128.57142)° = sin(128 + 4/7)° = 0.781831482468031 = 0.5 * [⊙√(⊙ + 3)] = √(1 - 1/4⊙2) • cos(5π/7) cos(128.57142)° = cos(128 + 4/7)° = -0.623489801858732 = - (1 / 2⊙) • sin(3π/14) sin(38.571428)° = sin(38 + 4/7)° = 0.623489801858733 = (1 / 2⊙) • cos(3π/14) cos(38.571428)° = cos(38+ 4/7)° = 0.78183148246803 = 0.5 * [⊙√(⊙ + 3)] = √(1 - 1/4⊙2) • sin(5π/14) sin(64.285714)° = sin(64 + 2/7)° = 0.900968867902419 = 0.5 * (⊙ +1) = 0.5 * {1/⊙ + [1/(⊙ + 1)]} • cos(5π/14) cos(64.285714)° = cos(64 + 2/7)° = 0.433883739117559 = √[0.5 * (1 - 1/2⊙)] = 0.5 * √(2 - 1/⊙) = 0.5 * √(1/⊙2 - ⊙) = 0.5 * √(3 - ⊙2 - 2⊙) • sin(π/14) sin(12.857142)° = sin(12 + 6/7)° = 0.222520933956314 = 0.5 * √(1 - ⊙) = 0.5 * [⊙/(⊙ + 1)] • cos(π/14) cos(12.857142)° = cos(12 + 6/7)° = 0.974927912181824 = 0.5 * √(⊙ + 3) • sin(2π/21) sin(17.142857)° = sin(17 + 1/7)° = 0.294755174410904   • cos(2π/21) cos(17.142857)° = cos(17 + 1/7)° = 0.955572805786141 {[(√3) /4] * √(⊙ + 3)} + 0.5 - (1/4⊙2)

Étude du triangle (DAE) - Triangle isocèle dont le sommet est (A) Angles [(A = π/7) ; (D = E = 3π/7)]
• Côtés latéraux égaux : (AD) et (AE) • Il s'agit également l'arête de l'heptagramme (ABCDEFG) de symbole {7/3} = R * √(⊙ + 3) = R * 1.94985582436365 • Base (DE) • Il s'agit également le côté de l’heptagone régulier (ABCDEFG) = R * √(2 - 1/⊙) = R * √(4 - S) = R * √[4 - (⊙ + 1)2] = R * √(3 - ⊙2 - 2⊙) = R * √[(3 + ⊙) * (1 - ⊙)] = R * 0.867767478235115 • Hauteur (AM) du triangle (DAE) = R * 0.5 * (⊙ + 3) = R * 1.90096886790242 • Aire du triangle (DAE) = R2 * 0.25 *(⊙ + 3) * √(2 - 1/⊙) = R2 * 0.25 * √[(⊙ + 3)3 * (1 - ⊙)] = R2 * 0.824799480351574 • Périmètre du triangle (DAE) = R * 2 * [√(3 + ⊙)] + √(2 - 1/⊙) = R * 4.76747912696241
Étude du triangle (KAT) - Triangle isocèle dont le sommet est (A) Angles [(A = π/7) ; (D = E = 3π/7)] Ce triangle est l'un des sept triangles équivaux formant les sept branches de l'heptagramme (ABCDEFG) de type {7/3}
• Côtés latéraux égaux : (AK) et (TA) • (AK) et (AT) sont deux des (14) côtés égaux de l'heptagramme (ABCDEFG) de symbole {7/3} = R * [√(2 - 1/⊙)] / {[√[2 - √(1-⊙)]} = R * √[(1 + 2⊙ - 1/⊙) / (⊙ + 2)] = R * ⊙* √(3 + ⊙) * √(1 - ⊙) = R * √(1 - ⊙3) = R * ⊙*√(2 - 1/⊙) = R * 0.695895486700943 = R * √0.484270528410744 • Base : (KT) = R * ⊙* [√(2 - 1/⊙)] * [ √(1-⊙)] = R * ⊙* [√(1 - ⊙3)] * [ √(1-⊙)] = R * 0.309702627273356 • Hauteur du triangle (KAT) issue de (A) = R *0.5 * ⊙ * (3 + ⊙) * [√(1 - ⊙)] = R * 0.678447933946104 • Aire du triangle (KAT) = R2 * 0.25 *{[(⊙ + 3) * √(2 - 1/⊙)] / [(⊙ + 2)2]} = R2 * 0.105058553805644 • Rapport : Aire du triangle (KAT) / Aire du triangle (DAE) = [1 / (⊙ + 2)2] = ⊙2 * (1 - ⊙) = 0.127374660518533 = 1 / 7.85085507532717 • Périmètre du triangle (KAT) = R * ⊙* [√(2 - 1/⊙)] * [2 + √(1-⊙)] = R * 1.70149360067524 • Rapport : Périmètre du triangle (KAT) / Périmètre du triangle (DAE) = ⊙ * √(1 - ⊙) = 1 / (⊙ + 2) = 0.356895867892209 = 1 / 2.80193773580484
Étude du triangle (BOC) - Triangle isocèle dont le sommet est (O) = le centre du cercle circonscrivant l'heptagone (ABCDEFG) Angles [(B = 2π/7) ; (D = E = 5π/14)]
• Côtés latéraux égaux : (OB) et (OC) = R   • Base (BC) • Il s'agit également le côté de l’heptagone régulier (ABCDEFG) = R * √(2 - 1/⊙) = R * √(4 - S) = R * √[4 - (⊙ + 1)2] = R * √(3 - ⊙2 - 2⊙) = R * √[(3 + ⊙) * (1 - ⊙)] = R * [⊙ * √(⊙ + 3)] / [√S] = R * [⊙ * √(⊙ + 3)] / [√(⊙ + 1)] = R * 0.867767478235117 S = (⊙ + 1)2 • Hauteur (OP) du triangle (BOC) = l'apothème de l'heptagone régulier (ABCDEFG) = R * 0.5 * (⊙ +1) = R * 0.900968867902419 • Aire du triangle (BOC) = R2 * (1/4) * (⊙ + 1) * √(2 - 1/⊙) = R2 * (1/4) * ⊙ * √(⊙ + 3) = R2 * 0.390915741234015 • Rapport : Aire du triangle (DAE) / Aire du triangle (BOC) = (⊙ + 3) / (⊙ + 1) = {√[(⊙ + 3) * (2 - 1/⊙)] / ⊙} = 2.10991626417474
Étude du triangle (BOG) - Triangle isocèle dont le sommet est (O) Angles [(O = 5π/7) ; (D = E = 3π/14)]
• Côtés latéraux égaux : (OB) et (OG) = R   • Base = (BG) • Il s'agit également l'arête de l'heptagramme (ABCDEFG) de symbole {7/2} = R * [⊙√(⊙ + 3)] = R * 2√(1 - 1/4⊙2) = R * 1.56366296493606 • Hauteur (OH) du triangle (BOG) = R * (1 / 2⊙) = R * 0.623489801858733 • Aire du triangle (BOG) = R2 * [0.25 * √(⊙ + 3)] = R2 * (1 / 2⊙) * (√(1 - 1/4⊙2) = R2 * 0.487463956090912
Étude du triangle (BAG) - Triangle isocèle dont le sommet est (A) Angles [(A = 5π/7) ; (D = E = π/7)]
• Côtés latéraux égaux : (AB) et (AG) • Il s'agit également le côté de l’heptagone régulier (ABCDEFG) = R * √(2 - 1/⊙) = R * √(3 - ⊙2 - 2⊙) = R * √[(3 + ⊙) * (1 - ⊙)] = R * 0.867767478235115 • Base (BG) • Il s'agit également l'arête de l'heptagramme (ABCDEFG) de symbole {7/2} = R * [⊙√(⊙ + 3)] = R * 2√(1 - 1/4⊙2) = R * 1.56366296493606 • Hauteur (AH) du triangle (BAG) = R * (1 - 1 / 2⊙) = R * 0.376510198141267 • Aire du triangle (BAG) = R2 * 0.25 * (2⊙ - 1) * √(⊙ + 3) = R² 0.294367526377119 • Rapport : Aire du triangle (BOG) / Aire du triangle (BAG) = 1 / (2⊙ - 1) = 1.65597055521136
Étude du triangle (D'AE') - Triangle isocèle dont le sommet est (A) Angles [(A = π/7) ; (D' = E' = 3π/7)]
• Côtés latéraux égaux : (AD') et (AE') = R *[(2 - 1/⊙) / √(⊙ + 3)] = R * 0.376510198141267 • Base (D'E') = R * [(2 - 1/⊙) * √(1 - ⊙)] / [√[(3 + ⊙)] = R * 0.171871991534173 • Hauteur (AH) du triangle (D'AE') = R * (1 - 1 / 2⊙) = R * 0.376510198141267 • segments : (DD') et (EE') = R * 0.5 * {⊙ * [√(⊙ + 3)] - {[(2 - 1 / ⊙) * √(1 - ⊙)] / √(⊙ + 3)} = R * 0.695895486700944 • Aire du triangle (D'AE') = R2 * {0.5 * [(2 - 1/⊙) * (1 - 1/2⊙)* √(1 - ⊙)]} / [√[(3 + ⊙)] = R2 * 0.032355778793732 • Rapport : Aire du triangle (DAE) / Aire du triangle (D'AE') = 0.5 * {√[(3 + ⊙)3] / [(1 - 1 / 2⊙) * √(3 - 2⊙ - 1/⊙)]} = 25.4915663013296
Étude du triangle (AKB) - Triangle isocèle dont le sommet est (K) Angles [(K = 3π/7) ; (A = B = 2π/7)] Ce triangle est identique au triangle (DPE) ⇒ les deux triangles (AKB) et (DPE) sont semblable, isométriques et isogonaux
• Côtés latéraux égaux : (KA) et (KB) • (KA) est l'un des (14) côtés égaux de l'heptagramme (ABCDEFG) de symbole {7/3} (ou l'heptagone régulier étoilé). = R * [√(2 - 1/⊙)] / {[√[2 - √(1-⊙)]} = R * √[(1 + 2⊙ - 1/⊙) / (⊙ + 2)] = R * √(1 - ⊙3) = R * ⊙*√(2 - 1/⊙) = R * 0.695895486700943 = R * √0.484270528410744 • Base : (AB) • (AB) est l'un des 7 côtés égaux de l’heptagone régulier convexe (ABCDEFG) = R * √(2 - 1/⊙) = R * √(3 - ⊙2 - 2⊙) = R * √[(3 + ⊙) * (1 - ⊙)] = R * 0.867767478235115 • Hauteur du triangle (AKB) issue de son sommet (K) = R * 0.5 * ⊙ * √[(3 + ⊙) * √(1 - ⊙3)] = R . 0.54407300001021 • Aire du triangle (AKB) = R2 * 0.25 * (1 - ⊙3) * √(⊙ + 3) = R2 * 0.25 * [(2 - 1/⊙) * √(⊙ + 3)] / [2 - √(1 - ⊙)] = R2 * 0.236064427597336
Étude du triangle (BPG) - Triangle isocèle dont le sommet est (P) Angles [(P = 3π/7) ; (B = G = 2π/7)] Les triangles (BPG) et (DPE) sont semblables, isogoniques, mais non isométriques. Le rapport de l'homothétie est égal à [(⊙+ 1) = √(S) ] quand il s'agit valeur métrique et égal à [ (⊙+ 1)2 = (S)] quand il s'agit d'étude de surface
• Côtés latéraux égaux : (BP) et (GP) = R * ⊙2 * √(⊙ + 3) = R * 1.25396033766271 • Base : (BG) • Il s'agit également l'arête de l'heptagramme (ABCDEFG) de symbole {7/2} = R * [⊙ √(⊙ + 3)] = R * 2√(1 - 1/4⊙2) = R * 1.56366296493606 • Rapport : Côté latéral (BP) / Base (BG) = ⊙ = 0.801937735804839 • Rapport : Côté latéral (BP) du triangle (BPG) / Côté latéral (EP) du triangle (DPE) = (⊙+ 1) = √(S) = 1.801937735804839 S = 3.24697960371747 • Hauteur (PH) du triangle (BPG) issue de son sommet (P) = R * 0.5 * ⊙3 * (⊙ + 3) = R * 0.5 * ⊙ * √[(3 + ⊙) * √(1 - ⊙3)] * (⊙+ 1) = Hauteur (PM) * (⊙+ 1) = Hauteur (PM) * √(S) = R * 0.980385669750946 • Aire du triangle (BPG) = R2 * 0.25 * (⊙4) * √(⊙ + 3)3 = R2 * 0.25 * (1 - ⊙3) * √(⊙ + 3) * (⊙+ 1)2 = Aire du triangle (DPE) * (⊙+ 1)2 = Aire du triangle (DPE) * (S) = R2 * 0.766496381571794 S = 3.24697960371747 • Rapport : Aire du triangle (BPG) /Aire du triangle (DPE = (⊙+ 1)2 = (S) S = Silver constant
Étude de l'heptagone régulier (ABCDEFG) et l'heptagramme (étoile régulière à spet branche de symbole de Schläfli {7/3}) (ABCDEFG)
Une fois le périmètre du cercle (dont le centre est le (O) et le rayon est R) a été divisé en sept arcs circulaires égaux on obtient les sept points (A, B, C, D, E, F et G) sur ce périmètre. Ces points représentent les sept sommets des heptagones réguliers qu'on peut construire : 1) L'heptagone régulier (ABCDEFG) inscrit dans le cercle (O). Il s'agit d'un polygone régulier de symbole de (Schläfli) {7/1} (ou de type {7/1}), cela signifie que chaque sommet de cet heptagone est relié directement au premier sommet suivant. Les deux heptagrammes (ABCDEFG) (étoiles régulières de sept branches) également inscrits dans le cercle (O) : A) L'heptagramme (ABCDEFG) de type {7/2} (ou de symbole de (Schläfli) {7/2}), cela signifie que chaque sommet de cet heptagone est relié par une arête au deuxième sommet suivant. B) L'heptagramme (ABCDEFG) de type {7/3} (ou de symbole de (Schläfli) {7/3}, cela signifie que chaque sommet de cet heptagone est relié par une arête au troisième sommet suivant. 2) En traçant les sept arêtes de l'heptagramme (ABCDEFG) de type {7/2} il se forme le deuxième heptagone (S1S2S3S4S5S6S7) de {7/1}, cet heptagone est inscrit dans un cercle intérieur dont le centre (O) et le rayon (R') équivaut à = R / [⊙ * (⊙ + 1)] = R / [⊙ * √(S)] = R * 0.69202147163009. Toutes les composantes géométriques de cet heptagramme (ABCDEFG) {7/2} peuvent être calculer en multipliant les valeurs des composantes correspondantes dans les heptagones (ABCDEFG) par la constante : 1 / [⊙ * (⊙ + 1)] = 1 / [⊙ * √(S)] = 0.69202147163009 3) En traçant les sept arêtes de l'heptagramme (ABCDEFG) de type {7/3} on peut observer la formation de quatre heptagones : 1) - Un heptagone régulier convexe (KLNPQRT) de type {7/1}, cet heptagone est inscrit dans un cercle intérieur dont le centre (O) et le rayon (R'') équivaut à = R * [⊙ √(1 - ⊙)] = R / (⊙ + 2) = R * [⊙2 / √(⊙ + 1)] = R * [⊙2 / √(S)] = R * 0.356895867892209. 2) - Un heptagramme (KLNPQRT) de type {7/2}, cet heptagramme est inscrit dans un cercle intérieur dont le centre (O) et le rayon (R'') équivaut à = R * [⊙ √(1 - ⊙)] = R * [⊙2 / √(⊙ + 1)] = R * [⊙2 / √(S)] = R * (1 - ⊙2) =R * 0.356895867892209. 3) - Un heptagramme (KLNPQRT) de type {7/3}, cet heptagramme est inscrit dans un cercle intérieur dont le centre (O) et le rayon (R'') équivaut à = R * [⊙ √(1 - ⊙)] = R / (⊙ + 2) = R * [⊙2 / √(⊙ + 1)] = R * [⊙2 / √(S)] = = R * (1 - ⊙2) = R * 0.356895867892209. Toutes les composantes géométriques de cet heptagramme (KLNPQRT) {7/2} peuvent être calculer en multipliant les valeurs des composantes correspondantes dans les heptagones (ABCDEFG) par la constante : = [⊙ √(1 - ⊙)] = R / (⊙ + 2) = [⊙2 / √(⊙ + 1)] = [⊙2 / √(S)] = R * (1 - ⊙2) = 0.356895867892209. 4) - Un heptagone régulier convexe (αβçδεφγ) de type {7/1}, cet heptagone est inscrit dans un 4ème cercle intérieur dont le centre (O) et le rayon (R''') équivaut à = R * [(1/⊙) - 1] = R * [(S - 3)] = R * 0.246979603717466. Toutes les composantes géométriques de cet heptagone (αβçδεφγ) {7/1} peuvent être calculer en multipliant les valeurs des composantes correspondantes dans les heptagones (ABCDEFG) par la constante : = [(1/⊙) - 1] = [(S - 3)] = 0.246979603717466. Les formules déterminant les rapports entre les quatre cercle (ABCDEFG), (S1S2S3S4S5S6S7), (KLNPQST) et (αβçδεφγ)) :   Rapport : Périmètre du cercle (ABCDEFG) / Périmètre du cercle (S1S2S3S4S5S6S7) =              = 1 / [⊙ * (⊙ + 1)] = 1 / [⊙ * √(S)] = 0.69202147163009.   Rapport : Périmètre du cercle (S1S2S3S4S5S6S7) / Périmètre du cercle(KLNPQST) =              = 1 / ⊙3 = 1.93900107534756 = 1 / 0.515729471589258.   Rapport : Périmètre du cercle (ABCDEFG) / Périmètre du cercle (KLNPQST) =             = [⊙ √(1 - ⊙)] = R / (⊙ + 2) = [⊙2 / √(⊙ + 1)] = [⊙2 / √(S)] = R * (1 - ⊙2) = 0.356895867892209.   Rapport : Périmètre du cercle (ABCDEFG) / Périmètre du cercle(αβçδεφγ) =             = [(1/⊙) - 1] = [(S - 3)] = 0.246979603717466.   Rapport : Périmètre du cercle (KLNPQST) / Périmètre du cercle (αβçδεφγ) =               = 1 / [⊙ * (⊙ + 1)] = 1 / [⊙ * √(S)] = 0.69202147163009.
• Aire de l'heptagone régulier de type {7/1} (ABCDEFG) = R2 * (7/4) * (⊙ + 1) * √(2 - 1/⊙) = R2 * (7/4) * ⊙ * √(⊙ + 3) = R2 * 2.7364101886381 • Périmètre de l'heptagone régulier de type {7/1} (ABCDEFG) convexe = R * 7 * √(2 - 1/⊙) = R * 7 * [⊙ * √(⊙ + 3)] / [√S] = R * 7 * [⊙ * √(⊙ + 3)] / [√(⊙ + 1)] = R * 6.07437234764582 • Aire de l'heptagramme régulier de type {7/3} (ABCDEFG) = R2 * (7/2) * ⊙ * (1 - ⊙) * √(⊙ + 3) = R2 * 1.08395919545674 • Périmètre de l'heptagramme régulier (ABCDEFG) - Étoile à sept branches de type {7/3} = R * 14 * ⊙*√(2 - 1/⊙) = R * 9.74253681381322 • Rapport : Aire de l'heptagone régulier de type {7/1} (ABCDEFG) / Aire de l'heptagramme régulier de type {7/3} (ABCDEFG). Tous les deux inscrit dans le cercle de rayon (R). = 1 / [2 * (1 - ⊙)] = 2.52445866976116 = 1 / 0.396124528390322 • Rapport : Périmètre de l'heptagone régulier de type {7/1} (ABCDEFG) / Périmètre de l'heptagramme régulier {7/3} (ABCDEFG). Tous les deux inscrit dans le cercle de rayon (R). = 1 / (2 *⊙) = 0.623489801858733 = 1 / 1.60387547160968
Heptagones de type {7/1} et les heptagrammes réguliers de type {7/2} et {7/3} Analyse métrique et trigonométrique des structures internes
Étude du triangle (CαF) - Triangle isocèle dont le sommet est (α) Angles [(α = 5π/7) ; (C = F = π/7)]
• Côtés latéraux égaux : (αC) et (αF) = R * [√(⊙ + 3)] / [√(2 + 1/⊙)] = R * [√(⊙ + 3)] / [√(S)] sachant que (S) = (2 + 1/⊙) = R * 1.08208834612853 • Base = (CF) = (AD) = R * √(⊙ + 3) = R * 1.94985582436365 • Hauteur (αV) du triangle (CαF) = R * 0.5 * √(⊙ + 3) * {[√(2 - 1/⊙)] / [√(2 + 1/⊙)]} = R * 0.5 * ⊙(⊙ + 3) / S = R * 0.5 * √(⊙ + 3) * {[√(2 - 1/⊙)] / [√(S)]} = R * 0.5 * 3/⊙ - (⊙ + 2) = R * 0.469500537673782 S = (1/⊙) + 2 • Aire du triangle (CαF) = R2 * 0.25 * (⊙ + 3) * {[√(2 - 1/⊙)] / [√(2 + 1/⊙)]} = R2 * 0.25 * 3/⊙ - (⊙ + 2) * √(⊙ + 3) = R² * 0.25 * ⊙ * √[(⊙ + 3)3] / S = R2 * 0.457729178962544
Étude du triangle (BαG) - Triangle isocèle dont le sommet est (α) Angles [(α = 5π/7) ; (B = G = π/7)]
• Côtés latéraux égaux : (αB) et (αG) ⇒ (αB) = le côté (AB) de l'heptagone (ABCDEFG) et également (BE'), (Bç) et (BC). • Le triangle (ABα) est isocèle ; son sommet est (B) et ses côtés latéraux sont (AB) et (αB). = R * [√(2 - 1/⊙)] = R * 0.867767478235117 • Base = (BG) (BG) est également l'arête de l'heptagramme (ABCDEFG) de type {7/2} = R * [⊙√(⊙ + 3)] = R * 2√(1 - 1/4⊙2) = R * 1.56366296493606 • Hauteur (αH) du triangle (BαG) = R * (1 - 1 / 2⊙) = R * 0.376510198141267 • Aire du triangle (BαG) = R2 * 0.25 * (2⊙ - 1) * √(⊙ + 3) = R2 * [0.25 *⊙3 * √(⊙ + 3/)3] / (S) = R2 * [0.25 *⊙3 * √(⊙ + 3/)3] / (⊙ + 1)2 = R2 0.294367526377119 S = (⊙ + 1)2 ⇒ Les deux triangles (BαG) et (BAG) sont semblables et isométriques-isotoniques.
Étude du triangle (αKβ) - Triangle isocèle dont le sommet est (Κ) Angles [(K = 3π/7) ; (B = G = 2π/7)]
• Côtés latéraux égaux : (Κα) et (Κβ) • (Κα) est l'un des (14) côtés de l'heptagramme interne (KLNPQST) de type {7/2} = R * [√(2 - 1/⊙)] - [√(1 - ⊙3)] = R * [(1/⊙) - 1] * [√(1 - ⊙3)] = R * 0.171871991534174 • Base = (αβ) • (αβ) est l'un des sept côtés de l'heptagone régulier central (αβçδεφγ) de type {7/1} = R * [(1/⊙) - 1] * [√(2 - 1/⊙)] = R * 0.214320867893414 • Hauteur du triangle (αKβ) issue de son sommet (K) = R * 0.5 * ( 1 - ⊙) * √[(3 + ⊙) * √(1 - ⊙3)] = R * 0.134374933935895 • Aire du triangle (BαG) = R2 * 0.25 * [(1/⊙) - 1]2 * (1 - ⊙3) * √(⊙ + 3) = R2 * 0.014399676232130
Étude du triangle (BPG) - Triangle isocèle dont le sommet est (P) Angles [(P = 3π/7) ; (B = G = 2π/7)] Les triangle (BPG) et (DPE) sont semblables, équigonaux, mais non isométriques. Le rapport de longueur des côtés de (BPG) / (DPE) est égal à (⊙ + 1) et le rapport des surfaces vaut (⊙ + 1)2 = (S).
• Côtés latéraux égaux : (PB) et (PG) = R * ⊙2 * √(⊙ + 3) = R * 1.25396033766271 • Base = (BG) = R * [⊙√(⊙ + 3)] = R * 2√(1 - 1/4⊙2) = R * 1.56366296493606 • Rapport : côté (PB) / base (BG) = ⊙ = 0.801937735804839 • Rapport : côté (PB) / (PE) = (⊙+ 1) = 1.801937735804839 • Rapport : côté (BE) / (BP) = 1 / ⊙2 = 1.554958132087371 = 1 / 0.643104132107792 • Rapport : côté (BE) / (BG) = 1 / ⊙ = 1.24697960371747 = 1 / 0.801937735804839 • Hauteur (PH) du triangle (BPG) = R * 0.5 * ⊙3 * (⊙ + 3) = 0.980385669750946 • Aire du triangle (BPG) = R2 * 0.25 * (1 - ⊙3) * [√(⊙ + 3)] * S = R2 * 0.25 *⊙4* √(⊙ + 3)3 = R2 * 0.766496381571795 S = (⊙ + 1)2 • Rapport : Aire du triangle (BPE) / Aire du triangle (DPE) = (⊙ + 1)2 = S = 3.24697960371747
Étude de l'heptagramme (ABCDEFG) régulier (étoilé) de type {7/2} et l'heptagramme (ABCDEFG) régulier de type {7/3} puis l'heptagone de type {7/1} régulier convexe (S1S2S3S4S5S6S7)
• Côté (AS1) de l'heptagramme (ABCDEFG) de type {7/2} de (Schläfi) = R * [√(2⊙ - 1/)] / [√(2⊙ +1/] = R *⊙ *[ √(⊙ + 3/)] / (S) = R * 0.481574618807529 S = (1/⊙ + 2) • Rapport : côté (S1S2) / (AS1) = (1 / ⊙) = 1.24697960371747 • Aire du triangle (AS1B) Angles (S1) = 5π/7 ; (A) = (B) = π/7 = R2 * 0.25 *⊙ * [ √(⊙ + 3)] * [(2⊙ - 1/) / (2⊙ +1/)]) = R2 * [0.25 *⊙3 * √(⊙ + 3)3] / (S2) = R2 * [0.25 *⊙3 * √(⊙ + 3)3] / (⊙ + 1)4 = R2 * 0.090658877573513 • Rapport : Aire du triangle (ABG) / Aire du triangle (AS1B) = (⊙ + 1)2 = S = 3.2469796037175       • Aire de l'heptagramme type {7/2} (ABCDEFG) = R2 * 3.5 * [ √(⊙ + 3)] / [(⊙ + 1)2] = R2 * 3.5 * [ √(⊙ + 3)] / (S) = R2 * 2.10179804562351 • Périmètre de l'heptagramme type {7/2} (ABCDEFG) = R * 14 * ⊙ *[ √(⊙ + 3/)] / (S) = R * 6.74204466330541 Rapport : Aire de l’heptagramme (ABCDEFG) type {7/2} / Aire de l’heptagramme (ABCDEFG) type {7/3} = 1 / [⊙ * (1 - ⊙) * S] = 1 / ⊙3 = 1.93900107534757 = 1/ 0.515729471589256 Rapport : Périmètre de l’heptagramme (ABCDEFG) type {7/2} / Périmètre de l’heptagramme (ABCDEFG) type {7/3} = 1 / [⊙ √S] = 1 / [⊙ * (⊙ + 1)] = 0.692021471630095 = 1 / 1.44504186791263       • Apothème de l'heptagone (S1S2S3S4S5S6S7) = Hauteur (OH) du triangle (S1OS7) = R * (1 / 2⊙) = R * 0.623489801858733 = R * 1 / 1.60387547160968 • Côté (S1S2) de l'heptagone (S1S2S3S4S5S6S7) = R * (1 / ⊙) * [√(2⊙ - 1/)] / [√(2⊙ +1/] = R * [ √(⊙ + 3)] / [(⊙ + 1)2] = R * [ √(⊙ + 3)] / (S) = R * 0.600513727321002 • Rayon du cercle circonscrivant l'heptagone (S1S2S3S4S5S6S7) = R / [⊙ * (⊙ + 1)] = R / [⊙ * √(S)] = R * 0.692021471630095 = R * (1/1.44504186791263) • Aire du triangle (S1OS2) = R2 * (1/4) * [ √(⊙ + 3/)] / (S⊙) = R2 * (1/4) * [ √(⊙ + 3/)] / [⊙ * (⊙ + 1)2] = R2 * (1/4) * [ √(⊙ + 3/)] / (2⊙ + 1) = R2 * 0.187207092430411 • Aire de l'heptagone régulier (S1S2S3S4S5S6S7) = R2 * (7/4) * [ √(⊙ + 3/)] / (S⊙) = R2 * (7/4) * [ √(⊙ + 3/)] / [⊙ * (⊙ + 1)2] = R2 * (7/4) * [ √(⊙ + 3/)] / (2⊙ + 1) = R2 * 1.31044964701287 • Rapport : Aire de l'heptagone (ABCDEFG) / Aire de l'heptagone (S1S2S3S4S5S6S7) = ⊙2 * S = ⊙2 * (⊙ + 1)2 = ⊙* (2⊙ + 1) = 2.08814600002042 • Périmètre de l'heptagone régulier (S1S2S3S4S5S6S7) = R * 7 * [ √(⊙ + 3)] / [(⊙ + 1)2] = R * 7 * [ √(⊙ + 3)] / (S) = R * 4.20359609124702 • Rapport : Périmètre de l'heptagone (ABCDEFG) / Périmètre de l'heptagone (S1S2S3S4S5S6S7) = [⊙ * (⊙ + 1)] = [⊙ * √(S)] = R * 1.44504186791263 = R * (1/0.692021471630095)
Étude des éléments géométriques composants les polygones internes centraux : l'heptagone étoilé régulier (= heptagramme) (KLNPQST) et l’heptagone (αβçδεφγ) et ses structures internes (triangles, heptagramme...).
* Pour calculer la valeur de chaque segment dans les heptagones ((KLNPQST) et (αβçδεφγ) , il faut multiplier la valeur du segment correspondant dans l'heptagone (ABCDEFG) par la          * [⊙ √(1 - ⊙)] = [⊙2 / √(⊙ + 1)] = [⊙2 / √(S)] = 0.356895867892209      quand il s'agit des heptagones dont les sommets sont (KLNPQST) (longueurs métriques)   - Par : [⊙ √(1 - ⊙)]2 = [⊙2 / √(⊙ + 1)]2 = [⊙2 / √(S)]2 = 0.127374660518533      pour obtenir les aires correspondante    - [(1/⊙) - 1] = (0.246979603717466 = 1 / 4.04891733952232)     quand il s'agit des heptagones dont les sommets sont (αβçδεφγ)   * S'il s'agit de l'étude de surface, il faut multiplier l'aire d'une structure dans l'heptagone (ABCDEFG) par la       - [(1/⊙) - 1]2 = (0.060998924652436 = 1 / 16.3937316222845) pour obtenir l'aire correspondante dans les heptagones et (αβçδεφγ).
Exemples de calcul
• Rayon (Oα) du cercle circonscrivant l'heptagone (αβçδεφγ) = R *[(1/⊙) - 1] = R * 0.246979603717466 • Aire disque du rayon (Oα) = R2 * π * [(1/⊙) - 1]2 = R2 * 0.191633773564972 • Côtés de l'heptagone régulier (αβçδεφγ) = R * [(1/⊙) - 1] * √(2 - 1/⊙) = R * 0.214320867893414 • segment l'heptagone régulier (αδ) et (αε) = R * [(1/⊙) - 1] * √(⊙ + 3) = R * 0.481574618807527 • Aire de l'heptagone régulier (αβçδεφγ) = R2 * (7/4) * ⊙ * [(1/⊙) - 1]2 * √(3 + ⊙) = R2 * 0.166918078914896

 La constante (⊙) que je nomme (Constante HEPTA) que j'ai découvert en analysant les éléments trigonométriques de l'heptagone, elle permet de calculer de façon simple toutes les composantes métriques, algébriques et trigonométriques d'un heptagone régulier. Il s'agit d'une constante dont la valeur numérique est :
- (⊙) = 0.8019377358 0483825247 2204639014 8901023318 3832426371 4300107124 8463714300 1071248463 9886484085 5879931002 7229094370 2248173... (117 décimaux).

ou plus simplement :
- (⊙) = 0.801937735804838 (15 décimaux).

- (⊙) est la seule solution positive de l'équation du 3ème degré suivante :
(X³ + 2X² - X - 1 = 0)  ⇒ (X³ + 2X² = X + 1).
- Consulter également l'analyse graphique de la constante HEPTA.

- (⊙) peut être calculée simplement par les formules suivantes : 
     (⊙) = {[2 * cos(π/7)] - 1}.
     (⊙) = 1 / [2 * cos(2π/7)].

- (⊙) est égale à [1 / (S - 2)] où S = Silver constant qui vaut [2 + 2cos(2π/7)] = 3.24697960371747  ⇒
S = [(1 / ⊙) + 2] = (⊙ + 1)².

- (⊙) = [Log (15826298 / 475993)] / [Log (79)] = (1.52177877299138 / 1.89762709129044 = 0.801937735804838)

- Quelques exemples d'équations dont  (⊙) est l'élément algébrique principal :
     
◾   1 / ⊙ = (S - 2) = (1.24697960371747)

◾   ⊙ * (S - 2) = (1)

◾   (2 + ⊙) * (1 - ⊙) * (1 + ⊙) =  (⊙ + 2) * (1 - ⊙²) = (1)

◾   (1 - ⊙²) = ⊙√(1 - ⊙)  ⇒ ⊙² + ⊙√(1 - ⊙) = (1)
   
◾    √(1 - ⊙) = ⊙/ ( √S) = (0.445041867912628)

◾   √(1 - ⊙) = ⊙/ ( 1 + ⊙) = (0.445041867912628)

◾   ⊙+ ⊙√(1 - ⊙) = 1 / ⊙ = (1.24697960371747)
  
◾   √(1 - ⊙) = (1 - ⊙²) / ⊙ = (0.445041867912628)

◾   √(1 - ⊙) = ⊙ / (⊙ + 1) = (0.445041867912629)

◾   √(1 - ⊙) = 1 / (1 + 1/⊙) = (0.445041867912629)

◾   √(1 - ⊙) + ⊙√(1 - ⊙) - ⊙ = (0)

◾   √(1 - ⊙) *(1 + ⊙) = ⊙

◾   [√(1 - ⊙)]³ -  [√(1 - ⊙)]² - 2 * [√(1 - ⊙)]¹ -= (-1)

◾   (⊙/ √S)³ - (⊙/ √S)² - 2 * (⊙/ √S)¹ = (-1)

◾   2 * [sin(π/14)]³ - [sin(π/14)]² - [sin(π/14)] = - (1/4)
     Consulter également l'analyse graphique de cette équation trigonométrique.

◾   ⊙√(1 - ⊙) = ⊙ - √(1 - ⊙) = (0.356895867892211)

◾   1 - √(1 - ⊙) = (1 / (⊙ + 1) = (0.554958132087371)

◾   (1 + ⊙) = ⊙² / (1 - ⊙²) = (1.80193773580484)

◾   (1 + ⊙) = [⊙√(⊙ + 3)] / √[2 - (1/⊙)] = (1.80193773580484)

◾   (1 + ⊙) = ⊙ / [√(1 - ⊙)] = (1.80193773580484)

◾   (1 + ⊙) =  √[2 + (1/⊙)] = (1.80193773580484)

◾   (1 + ⊙)² =  [2 + (1/⊙)] = (3.24697960371747) = S

◾   (1 + ⊙)² = (1 + 2⊙) / ⊙ = (3.24697960371747) = S

◾   ⊙² = (1 + ⊙) * (1 - ⊙²) = (0.643104132107792)

◾   ⊙² = (1 + ⊙) / (2 + ⊙) = (0.643104132107792)

◾   ⊙² = (1 + ⊙)² * (1 - ⊙) = (0.643104132107792)

◾   ⊙² + ⊙+ [1 / (1 + ⊙)] = (2)

◾   (1/ ⊙² - 1) = 1 / (1 + ⊙) = (0.554958132087371)

◾   1 - [(2⊙ - 1) / (2⊙ + 1)] = 2 / (2⊙ + 1) = (0.768085886520383)

◾   [(2⊙ - 1) / (2⊙ + 1)] = 1 - [2 / (2⊙ + 1)] = (0.231914113479617)

◾   √[(2⊙ - 1) / (2⊙ + 1)] = [⊙√(⊙ + 3)] / S = (0.481574618807529)

◾   √[(2⊙ - 1) = √[(S⊙ - 2) = (0.777094248858964)

◾   √(⊙ + 3) = [(1 + ⊙) * √(2 - 1/⊙)] / ⊙ = (1.94985582436365)

◾   [√(⊙ + 3)] / S = (1/⊙) * √[(2⊙ - 1) / (2⊙ + 1)] = (0.600513727321003)

◾   [√(⊙ + 3)] / √[2 - (1/⊙)] = 1 + (1/⊙) = (S - 1) = (2.24697960371747)

◾   [⊙√(⊙ + 3)] / √[2 - (1/⊙)] = (⊙ + 1) = (1.80193773580484)

◾   (2⊙ + 1) = (⊙ * S) = (2.60387547160968)

◾   [1 + (1/⊙)] = 1 / √(1 - ⊙) = (2.24697960371747)

◾   [2 - (1/⊙)] / [2 + (1/⊙)] = [(2⊙ - 1) / (2⊙ + 1)] = (0.231914113479617)

◾   [2 - (1/⊙)] / [2 + (1/⊙)] = (4 - S) / S = (0.231914113479615)

◾   [2 - (1/⊙)] = (4 - S) = (0.753020396282534)

◾   [2 + (1/⊙)] = S (3.24697960371747)

◾   ⊙³ =  (1 + ⊙) - 2⊙² = (0.515729471589259)

◾   ⊙³ = 2 * ⊙√(1 - ⊙) + ⊙ - 1 = (0.515729471589259)

◾   ⊙² = 2 * √(1 - ⊙) - 1/⊙ + 1 = (0.64310413210779)

    
◾   S = (1 / ⊙) + 2 = (3.24697960371747)

◾   S = (⊙ + 1)² = (3.24697960371747)

◾   S =  (2⊙ + 1) / ⊙ = (3.24697960371747)

◾   S * ⊙ = (2⊙ + 1) = (2.60387547160968)

◾   S * ⊙ = (2⊙ + 1) = (2.60387547160968)

◾   √S = (⊙ + 1) = (1.80193773580484)

◾   √S = [⊙/ (√(1 - ⊙)] = (1.80193773580484)

◾   1 / √S = 1/ (⊙ + 1) = (0.554958132087371)

◾   (S - 1) = 1 + (1/⊙) = [√(⊙ + 3)] / √[2 - (1/⊙)] = (2.24697960371747)

Ce graphique montre que  la constante (⊙ = Constante HEPTA) dont la valeur numérique est (0.801937735804838) est la seule racine positive de la fonction du troisième degré [g(x) = X³ + 2X² - X - 1] "auteur : Aly Abbara".

Les deux autres racines négatives :
E = (−0.554958132087369, 0) = [1 − 1/(⊙)², 0].
E = (−2.24697960371747, 0) = [−(1.24697960371747 + 1), 0] = [−(1/⊙+ 1), 0].

⇒ Les trois racines (E, F, G) de la fonction [g(x) = X³ + 2X² - X - 1] sont liées entre elles par (⊙ = Constante HEPTA).

• Ce graphique traite l'équation [f(x) = 2sin³(x) - sin2²(x) - sin(x) + 0.25] "auteur : Aly Abbara" obtenue par la conversion de l'équation algébrique :
  [g(x) = X³ + 2X² - X - 1] en équation trigonométrique.
  
  
• Ce tracé montre que toutes les solutions de cette équation sont des valeurs des angles structurant la géométrie d'un heptagone régulier.
  
  
• On peut remarquer que les valeurs des angles solutionnant cette équation sont :
  
  • soit l'angle qui équivaut à (π/14) ;
    
  • soit l'ajout à cet angle une valeur équivalente à sa multiplication par quatre.
    
    
• Racines positives :
  
• M = (0.224399475256414, 0) = (12.8571428571429, 0) = (π/14, 0).
• N = (1.12199737628207, 0) = (64.2857142857143°, 0) = (5π/14, 0).
• O = (2.01959527730772, 0) = (115.714285714285°, 0) = (9π/14, 0).
• P = (2.91719317833338, 0) = (167.142857142857°, 0) = (13π/14, 0)
  
• Q = (3.81479107935903, 0) = (218.571428571428°, 0) = (17π/14, 0).
• R = (5.60998688141034, 0) = (321.428571428571°, 0) = (25π/14, 0).
• S = (6.50758478243599, 0) = (372.857142857142, 0) = (29π/14, 0).
  
  Racines négatives :
  L = (-0.673198425769241, 0) = (-38.5714285714285°, 0) = (-3π/14, 0).
  K = (-2.46839422782055, 0) = (-141.428571428571°, 0) = (-11π/14, 0).
  J = (-3.3659921288462, 0) = (192.857142857143°, 0) = (-15π/14, 0).
  
  Extrêmes :
  
• C1 = (-1.5707963267949 , - 1.75) = (-90°, 0) = (-7π/14, 0).
• I1 = (4.71238898038468, -1.75) = (270°, -1.75) = 270° = (21π/14, 1.75).
  
  
• De (C1) à (I1) = -90 à 270 = 360° (6.28318530717959 rad) = 28π/14 .

• Ce graphique traite l'équation {g(x) = {[1/8cos³(4x)] + [1/2cos²(4x)] - [1/2cos(4x)] - 1}"auteur : Aly Abbara" obtenue par la conversion de l'équation :
  [g(x) = X³ + 2X² - X - 1] en équation trigonométrique.
  
  
• Ce tracé montre que toutes les solutions de cette équation sont des valeurs des angles structurant la géométrie d'un heptagone régulier.
  
  
• On peut remarquer que les valeurs des angles solutionnant cette équation sont :
  
  • soit l'angle qui équivaut à (π/14) ;
    
• soit sa multiplication par un nombre entier négatif ou positif.
  
  
• Les racines montrées sur cette fenêtre du graphique sont (pour l'exemple) :
  
  
• Racines positives :
  
  • M1 = (0.224399475256414, 0) = (12.8571428571429°, 0) = (π/14, 0).
    
  • N = (0.448798950512828, 0) = (25.7142857142858°, 0) = (2π/14, 0) = (π/7, 0).
    
  • N1 = (0.673198425769242, 0) = (38.5714285714286°, 0) = (3π/14, 0).
    
  • O1 = (0.897597901025654, 0) = (51.4285714285714°, 0) = (4π/14, 0) = (2π/7, 0).
    
  • P1 = (1.12199737628207, 0) = (64.2857142857143°, 0) = (5π/14, 0).
    
  • Q1 = (1.34639685153848, 0) = (77.142857142857°, 0) = (6π/14, 0) = (3π/7, 0).
    
  • R1 = (1.79519580205131, 0) = (102.857142857143°, 0) = (8π/14, 0) = (4π/7, 0).
  • S = (2.01959527730772, 0) = (115.714285714285°, 0) = (9π/14, 0).
  • S1 = (2.24399475256414, 0) = (128.571428571429°, 0) = (10π/14, 0) = (5π/7, 0).
  • T1 = (2.46839422782055, 0) = (141.428571428571°, 0) = (11π/14, 0).
    
  • U = (2.69279370307696, 0) = (154.285714285714°, 0) = (12π/14, 0) = (6π/7, 0).
    
  • U1 = (2.91719317833338, 0) = (167.142857142857°, 0) = (13π/14, 0).
  • P3 (Extremum) = (3.14159265358979, -0.875) = (180°, -0.875) = (π/, -0.875).
  • V1 = (3.36599212884621, 0) = (192.857142857143°, 0) = (15π/14, 0) = (π + π/14, 0).
  • W1 = (3.59039160410262, 0) = (205.714285714286°, 0) = (16π/14, 0) = (8π/7, 0) = (π + π/7, 0).
  • Z1 = (3.81479107935903, 0) = (218.571428571428°, 0) = (17π/14, 0) = (π + 3π/14, 0).
  • ...
    

• Racines négatives :
  
  • L1 = (-0.224399475256414, 0) = (-12.8571428571429°, 0) = (-π/14, 0).
    
  • L = (-0.448798950512828, 0) = (-25.7142857142858°, 0) = (-2π/14, 0) = (-π/7, 0).
    
  • K1 = (-0.673198425769242, 0) = (-38.5714285714286°, 0) = (-3π/14, 0).
    
  • J1 = (-0.897597901025654, 0) = (-51.4285714285714°, 0) = (-4π/14, 0) = (-2π/7, 0).
    
  • I1 = (-1.12199737628207, 0) = (-64.2857142857143°, 0) = (-5π/14, 0).
    
  • H1 = (-1.34639685153848, 0) = (-77.142857142857°, 0) = (-6π/14, 0) = (-3π/7, 0).
    
  • G1 = (-1.79519580205131, 0) = (-102.857142857143°, 0) = (-8π/14, 0) = (-4π/7, 0).
  • G = (-2.01959527730772, 0) = (-115.714285714285°, 0) = (-9π/14, 0).
  • F1 = (-2.24399475256414, 0) = (-128.571428571429°, 0) = (-10π/14, 0) = (-5π/7, 0).
  • E1 = (-2.46839422782055, 0) = (-141.428571428571°, 0) = (-11π/14, 0).
  • ...

* - Ce graphique traite les équations {g(x) = {[1/8cos³(4x)] + [1/2cos²(4x)] - [1/2cos(4x)] - 1} et [f(x) = 2sin³(x) - sin2²(x) - sin(x) + 0.25] obtenues par la conversion de l'équation algébrique [g(x) = X³ + 2X² - X - 1] en deux équations trigonométriques.

* - Ce tracé montre que toutes les solutions de ces équations sont des valeurs des angles structurant la géométrie d'un heptagone régulier.

* -  On peut remarquer dans ces deux graphiques que les points de leurs intersections sur l'axe des abscisses correspondent à toutes les racines de l'équation [f(x) = 2sin³(x) - sin2²(x) - sin(x) + 0.25].

• Le graphique ci-dessus démontre la possibilité de la construction parfaite [d'un heptagone régulier, d'un polygone régulier à 14 côtés et d'un polygone régulier à 28 côtés] en utilisant l'équation trigonométrique :
  f(x) = 1/[8cos³(4x)] + 1/[2cos²(4x)] - 1/[2cos(4x)] - 1
  (Auteur : Aly Abbara)
  
  
• Les racines de type (X, Y=0) de cette équation sont toutes égales à l'angle (π/14 = 0.224399475256414 rad = 12.8571428571429°) ou ses multiplications (positives et négative).
  
  
• Le segment des abscisses du graphique de cette équation situé entre [+π ; -π] ⇒ = 2π ⇒ = Périmètre du cercle trigonométrique dont le rayon est égal à 1. Ce segment comporte (28) racines de type (X, Y=0).
  
  
• Ces (28) racines racines divisent le segment à [+π ; -π] en (28) subsegments chacun représente un angle de (π/14 = 0.224399475256414 rad = 12.8571428571429°) ou 2π/28, ou (1/28) du périmètre du cercle trigonométrique.
  
• Vu les données précédentes, en faisant rouler le cercle trigonométrique sur le segment des abscisses [+π ; -π] et en marquant son passage sur chaque racine de l'équation {f(x) = {1/[8cos³(4x)] + 1/[2cos²(4x)] - 1/[2cos(4x)] - 1} on obtient la division de cercle en 28 arcs réguliers qui sont les éléments permettant de construire dans ce cercle trigonométrique des polygones réguliers de 7, 14 et 28 côtés.
  
  
• On peut observer que la longueur du segment sur la ligne des abscisses situé entre (I1 et A2) est égale à celle de la circonférence du cercle trigonométrique, donc ce segment (I1A2) est la rectification exacte de ce cercle.
  
  
• On peut conclure que la fonction :
  f(x) = 1/[8cos³(4x)] + 1/[2cos²(4x)] - 1/[2cos(4x)] - 1
  (Auteur : Aly Abbara)
  
  apporte une solution pratique graphique, trigonométrique au « Problème historique de la rectification du cercle : Est-il possible, par construction à la règle et au compas, de trouver un segment dont la longueur soit celle de la circonférence d'un cercle donné ». Ce problème fut étudié depuis l'antiquité et c'est Lindemann, en 1882 qui confirma l'impossibilité de résoudre ce problème par la construction à l'aide de la règle et au compas.
  
  Le problème de la quadrature du cercle est même ordre, il s'agit d'un problème géométrique posé de 1800 avant J.-C. : « Est-il possible de construire à la règle et au compas, un carré ayant la même aire qu'un cercle donné ».
  Ce problème n' a été résolu qu'un 1882 par Lindemann qui énonça l'impossibilité de la réalisation de cette construction (à la règle et au compas).