Les valeurs des principaux angles d'un heptagone régulier (ABCDEFG) (polygone à sept côtés) :

(Θ) = le cercle circonscrit au heptagone régulier (ABCDEFG) ; son centre est (O) et son rayon est (AO).

* Le triangle principal (ADE) :
  - Triangle isocèle dont l'angle du sommet (DAE) est égal à (π/7), soit (0.448798950512827) radian = (25.714285)°. Il s'agit de l'angle au sommets de l'heptagramme (étoile régulière à sept branches).
  - Les deux angles latéraux de la base (angles ADE et AED) qui valent chacun : (3π/7), soit (1.34639685153848) radian = (77.142857)°.

* Le triangle (BOC) :
  - Triangle isocèle dont l'angle du sommet (BOC) est égal à (2π/7), soit (0.897597901025654) radian = (51.428571)°. Il s'agit de l'angle au centre de l'heptagone.
  - Les deux angles latéraux de la base (angles OBC et OCB) qui valent chacun : (5π/14), soit (1.12199737628207) radian = (64.285714)°.

* Le triangle (BOG) :
  - Triangle isocèle dont l'angle du sommet (BOG) est égal à (4π/7), soit (1.79519580205131) radian = (102.857142)°. Il s'agit du double de l'angle au centre de l'heptagone.
  - Les deux angles latéraux de la base (angles OBC et OCB) qui valent chacun : (3π/14), soit (0.673198425769241) radian = (38.571428)°.

* Le triangle (ABG) :
  - Triangle isocèle dont l'angle du sommet (BAG) est égal à (5π/7), soit (2.24399475256414) radian = (128.571428)°. Il s'agit de l'angle interne de l'heptagone régulier convexe (ABCDEFG).
  - Les deux angles latéraux de la base (angles ABG et AGB) qui valent chacun : (π/7), soit (0.448798950512827) radian = (25.714285)°.

* L'étude métrique de l'heptagone régulier et l'heptagramme (étoile régulière à sept branches) :

Pour réaliser cette étude j'utilise deux éléments trigonométriques qui sont les suivants :

  1- (R) = le rayon du cercle dans lequel l'heptagone (ABCDEFG) est inscrit.

  2- La constante (⊙) qui permet de calculer toutes les composantes métriques, algébriques et trigonométriques d'un heptagone régulier. Il s'agit d'une constante dont la valeur numérique est :
  - (⊙) =
0.8019377358 0483825247 2204639014 8901023318 3832426371 4300107124 8463714300 1071248463 9886484085 5879931002 7229094370 2248173... (117 décimaux).

  - (⊙) = 0.801937735804838 (15 décimaux).

  - (⊙) est la seule solution positive de l'équation du 3ème degré suivante :
                                                                               (X³ + 2X² - X - 1 = 0)  ⇒ (X³ + 2X² = X + 1).

  - (⊙) peut être calculée simplement par la formule suivante : (⊙) = {[2 * cos(π/7)] - 1}.

  - (⊙) est égale à [1 / (S - 2)] où S = Silver constant qui vaut [2 + 2cos(2π/7)] = 3.24697960371747  ⇒ S = [(1 / ⊙) + 2] = (⊙ + 1)².

Étude trigonométrique des angles formés par le croisement des différents segments et côtés d'un heptagone régulier
• sin(π/7) sin(25.714285)° = sin(25 + 5/7)° = 0.433883739117558 = 0.5 * √(2 - 1/⊙) = 0.5 * √(1/⊙2 - ⊙) = 0.5 * √(3 - ⊙2 - 2⊙) • cos(π/7) cos(25.714285)° = cos(25 + 5/7)° = 0.900968867902419 = 0.5 * (⊙ +1) = 0.5 * {1/⊙ + [1/(⊙ + 1)]} • sin(2π/7) sin(51.428571)° = sin(51 + 3/7)° = 0.781831482468031 = 0.5 * [⊙√(⊙ + 3)] = √(1 - 1/4⊙2) • cos(2π/7) cos(51.428571)° = cos(51 + 3/7)° = 0.623489801858734 = (1 / 2⊙) • sin(3π/7) sin(77.142857)° = sin(77 + 1/7)° = 0.974927912181823 = 0.5 * √(⊙ + 3) • cos(3π/7) cos(77.142857)° = cos(77 + 1/7)° = 0.222520933956314 = 0.5 * √(1 - ⊙) = 0.5 * [⊙/(⊙ + 1)] • sin(4π/7) sin(102.857142)° = sin(102 + 6/7)° = 0.974927912181824 = 0.5 * √(⊙ + 3) • cos(4π/7) cos(102.857142)° = cos(102 + 6/7)° = -0.222520933956313 = - 0.5 * √(1 - ⊙) = - 0.5 * [⊙/(⊙ + 1)] • sin(5π/7) sin(128.57142)° = sin(128 + 4/7)° = 0.781831482468031 = 0.5 * [⊙√(⊙ + 3)] = √(1 - 1/4⊙2) • cos(5π/7) cos(128.57142)° = cos(128 + 4/7)° = -0.623489801858732 = - (1 / 2⊙) • sin(3π/14) sin(38.571428)° = sin(38 + 4/7)° = 0.623489801858733 = (1 / 2⊙) • cos(3π/14) cos(38.571428)° = cos(38+ 4/7)° = 0.78183148246803 = 0.5 * [⊙√(⊙ + 3)] = √(1 - 1/4⊙2) • sin(5π/14) sin(64.285714)° = sin(64 + 2/7)° = 0.900968867902419 = 0.5 * (⊙ +1) = 0.5 * {1/⊙ + [1/(⊙ + 1)]} • cos(5π/14) cos(64.285714)° = cos(64 + 2/7)° = 0.433883739117559 = √[0.5 * (1 - 1/2⊙)] = 0.5 * √(2 - 1/⊙) = 0.5 * √(1/⊙2 - ⊙) = 0.5 * √(3 - ⊙2 - 2⊙) • sin(π/14) sin(12.857142)° = sin(12 + 6/7)° = 0.222520933956314 = 0.5 * √(1 - ⊙) = 0.5 * [⊙/(⊙ + 1)] • cos(π/14) cos(12.857142)° = cos(12 + 6/7)° = 0.974927912181824 = 0.5 * √(⊙ + 3) • sin(2π/21) sin(17.142857)° = sin(17 + 1/7)° = 0.294755174410904   • cos(2π/21) cos(17.142857)° = cos(17 + 1/7)° = 0.955572805786141 {[(√3) /4] * √(⊙ + 3)} + 0.5 - (1/4⊙2)

Étude du triangle (DAE) - Triangle isocèle dont le sommet est (A) Angles [(A = π/7) ; (D = E = 3π/7)]
• Côtés latéraux égaux : (AD) et (AE) • Il s'agit également l'arête de l'heptagramme (ABCDEFG) de symbole {7/3} = R * √(⊙ + 3) = R * 1.94985582436365 • Base (DE) • Il s'agit également le côté de l'héptagone régulier (ABCDEFG) = R * √(2 - 1/⊙) = R * √(4 - S) = R * √[4 - (⊙ + 1)2] = R * √(3 - ⊙2 - 2⊙) = R * √[(3 + ⊙) * (1 - ⊙)] = R * 0.867767478235115 • Hauteur (AM) du triangle (DAE) = R * 0.5 * (⊙ + 3) = R * 1.90096886790242 • Aire du triangle (DAE) = R2 * 0.25 *(⊙ + 3) * √(2 - 1/⊙) = R2 * 0.25 * √[(⊙ + 3)3 * (1 - ⊙)] = R2 * 0.824799480351574 • Périmètre du triangle (DAE) = R * 2 * [√(3 + ⊙)] + √(2 - 1/⊙) = R * 4.76747912696241
Étude du triangle (KAT) - Triangle isocèle dont le sommet est (A) Angles [(A = π/7) ; (D = E = 3π/7)] Ce triangle est l'un des sept triangles équivaux formant les sept branches de l'heptagramme (ABCDEFG) de type {7/3}
• Côtés latéraux égaux : (AK) et (TA) • (AK) et (AT) sont deux des (14) côtés égaux de l'heptagramme (ABCDEFG) de symbole {7/3} = R * [√(2 - 1/⊙)] / {[√[2 - √(1-⊙)]} = R * √[(1 + 2⊙ - 1/⊙) / (⊙ + 2)] = R * ⊙* √(3 + ⊙) * √(1 - ⊙) = R * √(1 - ⊙3) = R * ⊙*√(2 - 1/⊙) = R * 0.695895486700943 = R * √0.484270528410744 • Base : (KT) = R * ⊙* [√(2 - 1/⊙)] * [ √(1-⊙)] = R * ⊙* [√(1 - ⊙3)] * [ √(1-⊙)] = R * 0.309702627273356 • Hauteur du triangle (KAT) issue de (A) = R *0.5 * ⊙ * (3 + ⊙) * [√(1 - ⊙)] = R * 0.678447933946104 • Aire du triangle (KAT) = R2 * 0.25 *{[(⊙ + 3) * √(2 - 1/⊙)] / [(⊙ + 2)2]} = R2 * 0.105058553805644 • Rapport : Aire du triangle (KAT) / Aire du triangle (DAE) = [1 / (⊙ + 2)2] = ⊙2 * (1 - ⊙) = 0.127374660518533 = 1 / 7.85085507532717 • Périmètre du triangle (KAT) = R * ⊙* [√(2 - 1/⊙)] * [2 + √(1-⊙)] = R * 1.70149360067524 • Rapport : Périmètre du triangle (KAT) / Périmètre du triangle (DAE) = ⊙ * √(1 - ⊙) = 1 / (⊙ + 2) = 0.356895867892209 = 1 / 2.80193773580484
Étude du triangle (BOC) - Triangle isocèle dont le sommet est (O) = le centre du cercle circonscrivant l'heptagone (ABCDEFG) Angles [(B = 2π/7) ; (D = E = 5π/14)]
• Côtés latéraux égaux : (OB) et (OC) = R   • Base (BC) • Il s'agit également le côté de l'héptagone régulier (ABCDEFG) = R * √(2 - 1/⊙) = R * √(4 - S) = R * √[4 - (⊙ + 1)2] = R * √(3 - ⊙2 - 2⊙) = R * √[(3 + ⊙) * (1 - ⊙)] = R * [⊙ * √(⊙ + 3)] / [√S] = R * [⊙ * √(⊙ + 3)] / [√(⊙ + 1)] = R * 0.867767478235117 S = (⊙ + 1)2 • Hauteur (OP) du triangle (BOC) = l'apothème de l'heptagone régulier (ABCDEFG) = R * 0.5 * (⊙ +1) = R * 0.900968867902419 • Aire du triangle (BOC) = R2 * (1/4) * (⊙ + 1) * √(2 - 1/⊙) = R2 * (1/4) * ⊙ * √(⊙ + 3) = R2 * 0.390915741234015 • Rapport : Aire du triangle (DAE) / Aire du triangle (BOC) = (⊙ + 3) / (⊙ + 1) = {√[(⊙ + 3) * (2 - 1/⊙)] / ⊙} = 2.10991626417474
Étude du triangle (BOG) - Triangle isocèle dont le sommet est (O) Angles [(O = 5π/7) ; (D = E = 3π/14)]
• Côtés latéraux égaux : (OB) et (OG) = R   • Base = (BG) • Il s'agit également l'arête de l'heptagramme (ABCDEFG) de symbole {7/2} = R * [⊙√(⊙ + 3)] = R * 2√(1 - 1/4⊙2) = R * 1.56366296493606 • Hauteur (OH) du triangle (BOG) = R * (1 / 2⊙) = R * 0.623489801858733 • Aire du triangle (BOG) = R2 * [0.25 * √(⊙ + 3)] = R2 * (1 / 2⊙) * (√(1 - 1/4⊙2) = R2 * 0.487463956090912
Étude du triangle (BAG) - Triangle isocèle dont le sommet est (A) Angles [(A = 5π/7) ; (D = E = π/7)]
• Côtés latéraux égaux : (AB) et (AG) • Il s'agit également le côté de l'héptagone régulier (ABCDEFG) = R * √(2 - 1/⊙) = R * √(3 - ⊙2 - 2⊙) = R * √[(3 + ⊙) * (1 - ⊙)] = R * 0.867767478235115 • Base (BG) • Il s'agit également l'arête de l'heptagramme (ABCDEFG) de symbole {7/2} = R * [⊙√(⊙ + 3)] = R * 2√(1 - 1/4⊙2) = R * 1.56366296493606 • Hauteur (AH) du triangle (BAG) = R * (1 - 1 / 2⊙) = R * 0.376510198141267 • Aire du triangle (BAG) = R2 * 0.25 * (2⊙ - 1) * √(⊙ + 3) = R² 0.294367526377119 • Rapport : Aire du triangle (BOG) / Aire du triangle (BAG) = 1 / (2⊙ - 1) = 1.65597055521136
Étude du triangle (D'AE') - Triangle isocèle dont le sommet est (A) Angles [(A = π/7) ; (D' = E' = 3π/7)]
• Côtés latéraux égaux : (AD') et (AE') = R *[(2 - 1/⊙) / √(⊙ + 3)] = R * 0.376510198141267 • Base (D'E') = R * [(2 - 1/⊙) * √(1 - ⊙)] / [√[(3 + ⊙)] = R * 0.171871991534173 • Hauteur (AH) du triangle (D'AE') = R * (1 - 1 / 2⊙) = R * 0.376510198141267 • segments : (DD') et (EE') = R * 0.5 * {⊙ * [√(⊙ + 3)] - {[(2 - 1 / ⊙) * √(1 - ⊙)] / √(⊙ + 3)} = R * 0.695895486700944 • Aire du triangle (D'AE') = R2 * {0.5 * [(2 - 1/⊙) * (1 - 1/2⊙)* √(1 - ⊙)]} / [√[(3 + ⊙)] = R2 * 0.032355778793732 • Rapport : Aire du triangle (DAE) / Aire du triangle (D'AE') = 0.5 * {√[(3 + ⊙)3] / [(1 - 1 / 2⊙) * √(3 - 2⊙ - 1/⊙)]} = 25.4915663013296
Étude du triangle (AKB) - Triangle isocèle dont le sommet est (K) Angles [(K = 3π/7) ; (A = B = 2π/7)] Ce triangle est identique au triangle (DPE) ⇒ les deux triangles (AKB) et (DPE) sont smblable, isométriques et isogonaux
• Côtés latéraux égaux : (KA) et (KB) • (KA) est l'un des (14) côtés égaux de l'heptagramme (ABCDEFG) de symbole {7/3} (ou l'heptagone régulier étoilé). = R * [√(2 - 1/⊙)] / {[√[2 - √(1-⊙)]} = R * √[(1 + 2⊙ - 1/⊙) / (⊙ + 2)] = R * √(1 - ⊙3) = R * ⊙*√(2 - 1/⊙) = R * 0.695895486700943 = R * √0.484270528410744 • Base : (AB) • (AB) est l'un des 7 côtés égaux de l'héptagone régulier convexe (ABCDEFG) = R * √(2 - 1/⊙) = R * √(3 - ⊙2 - 2⊙) = R * √[(3 + ⊙) * (1 - ⊙)] = R * 0.867767478235115 • Hauteur du triangle (AKB) issue de son sommet (K) = R * 0.5 * ⊙ * √[(3 + ⊙) * √(1 - ⊙3)] = R . 0.54407300001021 • Aire du triangle (AKB) = R2 * 0.25 * (1 - ⊙3) * √(⊙ + 3) = R2 * 0.25 * [(2 - 1/⊙) * √(⊙ + 3)] / [2 - √(1 - ⊙)] = R2 * 0.236064427597336
Étude du triangle (BPG) - Triangle isocèle dont le sommet est (P) Angles [(P = 3π/7) ; (B = G = 2π/7)] Les triangles (BPG) et (DPE) sont semblables, isogoniques, mais non isométriques. Le rapport de l'homothétie est égal à [(⊙+ 1) = √(S) ] quand il s'agit valeur métrique et égal à [ (⊙+ 1)2 = (S)] quand il s'agit d'étude de surface
• Côtés latéraux égaux : (BP) et (GP) = R * ⊙2 * √(⊙ + 3) = R * 1.25396033766271 • Base : (BG) • Il s'agit également l'arête de l'heptagramme (ABCDEFG) de symbole {7/2} = R * [⊙ √(⊙ + 3)] = R * 2√(1 - 1/4⊙2) = R * 1.56366296493606 • Rapport : Côté latéral (BP) / Base (BG) = ⊙ = 0.801937735804839 • Rapport : Côté latéral (BP) du triangle (BPG) / Côté latéral (EP) du triangle (DPE) = (⊙+ 1) = √(S) = 1.801937735804839 S = 3.24697960371747 • Hauteur (PH) du triangle (BPG) issue de son sommet (P) = R * 0.5 * ⊙3 * (⊙ + 3) = R * 0.5 * ⊙ * √[(3 + ⊙) * √(1 - ⊙3)] * (⊙+ 1) = Hauteur (PM) * (⊙+ 1) = Hauteur (PM) * √(S) = R * 0.980385669750946 • Aire du triangle (BPG) = R2 * 0.25 * (⊙4) * √(⊙ + 3)3 = R2 * 0.25 * (1 - ⊙3) * √(⊙ + 3) * (⊙+ 1)2 = Aire du triangle (DPE) * (⊙+ 1)2 = Aire du triangle (DPE) * (S) = R2 * 0.766496381571794 S = 3.24697960371747 • Rapport : Aire du triangle (BPG) /Aire du triangle (DPE = (⊙+ 1)2 = (S) S = Silver constant
Étude de l'heptagone régulier (ABCDEFG) et l'heptagramme (étoile régulière à spet branche de symbole de Schläfli {7/3}) (ABCDEFG)
Une fois le périmètre du cercle (dont le centre est le (O) et le rayon est R) a été divisé en sept arcs circulaires égaux on obtient les sept points (A, B, C, D, E, F et G) sur ce périmètre. Ces points représentent les sept sommets des heptagones réguliers qu'on peut construire : 1) L'heptagone régulier (ABCDEFG) inscrit dans le cercle (O). Il s'agit d'un polygone régulier de symbole de (Schläfli) {7/1} (ou de type {7/1}), cela signifie que chaque sommet de cet heptagone est relié directement au premier sommet suivant. Les deux heptagrammes (ABCDEFG) (étoiles régulières de sept branches) également inscrits dans le cercle (O) : A) L'heptagramme (ABCDEFG) de type {7/2} (ou de symbole de (Schläfli) {7/2}), cela signifie que chaque sommet de cet heptagone est relié par une arête au deuxième sommet suivant. B) L'heptagramme (ABCDEFG) de type {7/3} (ou de symbole de (Schläfli) {7/3}, cela signifie que chaque sommet de cet heptagone est relié par une arête au troisième sommet suivant. 2) En traçant les sept arêtes de l'heptagramme (ABCDEFG) de type {7/2} il se forme le deuxième heptagone (S1S2S3S4S5S6S7) de {7/1}, cet heptagone est inscrit dans un cercle intérieur dont le centre (O) et le rayon (R') équivaut à = R / [⊙ * (⊙ + 1)] = R / [⊙ * √(S)] = R * 0.69202147163009. Toutes les composantes géométriques de cet heptagramme (ABCDEFG) {7/2} peuvent être calculer en multipliant les valeurs des composantes correspondantes dans les heptagones (ABCDEFG) par la constante : 1 / [⊙ * (⊙ + 1)] = 1 / [⊙ * √(S)] = 0.69202147163009 3) En traçant les sept arêtes de l'heptagramme (ABCDEFG) de type {7/3} on peut observer la formation de quatre heptagones : 1) - Un heptogone régulier convexe (KLNPQRT) de type {7/1}, cet heptagone est inscrit dans un cercle intérieur dont le centre (O) et le rayon (R'') équivaut à = R * [⊙ √(1 - ⊙)] = R / (⊙ + 2) = R * [⊙2 / √(⊙ + 1)] = R * [⊙2 / √(S)] = R * 0.356895867892209. 2) - Un heptagramme (KLNPQRT) de type {7/2}, cet heptagramme est inscrit dans un cercle intérieur dont le centre (O) et le rayon (R'') équivaut à = R * [⊙ √(1 - ⊙)] = R * [⊙2 / √(⊙ + 1)] = R * [⊙2 / √(S)] = R * (1 - ⊙2) =R * 0.356895867892209. 3) - Un heptagramme (KLNPQRT) de type {7/3}, cet heptagramme est inscrit dans un cercle intérieur dont le centre (O) et le rayon (R'') équivaut à = R * [⊙ √(1 - ⊙)] = R / (⊙ + 2) = R * [⊙2 / √(⊙ + 1)] = R * [⊙2 / √(S)] = = R * (1 - ⊙2) = R * 0.356895867892209. Toutes les composantes géométriques de cet hepagramme (KLNPQRT) {7/2} peuvent être calculer en multipliant les valeurs des composantes correspondantes dans les heptagones (ABCDEFG) par la constante : = [⊙ √(1 - ⊙)] = R / (⊙ + 2) = [⊙2 / √(⊙ + 1)] = [⊙2 / √(S)] = R * (1 - ⊙2) = 0.356895867892209. 4) - Un heptagone régulier convexe (αβçδεφγ) de type {7/1}, cet heptagone est inscrit dans un 4ème cercle intérieur dont le centre (O) et le rayon (R''') équivaut à = R * [(1/⊙) - 1] = R * [(S - 3)] = R * 0.246979603717466. Toutes les composantes géométriques de cet heptagone (αβçδεφγ) {7/1} peuvent être calculer en multipliant les valeurs des composantes correspondantes dans les heptagones (ABCDEFG) par la constante : = [(1/⊙) - 1] = [(S - 3)] = 0.246979603717466. Les formules déterminant les rapports entre les quatre cercle (ABCDEFG), (S1S2S3S4S5S6S7), (KLNPQST) et (αβçδεφγ)) :   Rapport : Périmètre du cercle (ABCDEFG) / Périmètre du cercle (S1S2S3S4S5S6S7) =              = 1 / [⊙ * (⊙ + 1)] = 1 / [⊙ * √(S)] = 0.69202147163009.   Rapport : Périmètre du cercle (S1S2S3S4S5S6S7) / Périmètre du cercle(KLNPQST) =              = 1 / ⊙3 = 1.93900107534756 = 1 / 0.515729471589258.   Rapport : Périmètre du cercle (ABCDEFG) / Périmètre du cercle (KLNPQST) =             = [⊙ √(1 - ⊙)] = R / (⊙ + 2) = [⊙2 / √(⊙ + 1)] = [⊙2 / √(S)] = R * (1 - ⊙2) = 0.356895867892209.   Rapport : Périmètre du cercle (ABCDEFG) / Périmètre du cercle(αβçδεφγ) =             = [(1/⊙) - 1] = [(S - 3)] = 0.246979603717466.   Rapport : Périmètre du cercle (KLNPQST) / Périmètre du cercle (αβçδεφγ) =               = 1 / [⊙ * (⊙ + 1)] = 1 / [⊙ * √(S)] = 0.69202147163009.
• Aire de l'heptagone régulier de type {7/1} (ABCDEFG) = R2 * (7/4) * (⊙ + 1) * √(2 - 1/⊙) = R2 * (7/4) * ⊙ * √(⊙ + 3) = R2 * 2.7364101886381 • Périmètre de l'heptagone régulier de type {7/1} (ABCDEFG) convexe = R * 7 * √(2 - 1/⊙) = R * 7 * [⊙ * √(⊙ + 3)] / [√S] = R * 7 * [⊙ * √(⊙ + 3)] / [√(⊙ + 1)] = R * 6.07437234764582 • Aire de l'heptagramme régulier de type {7/3} (ABCDEFG) = R2 * (7/2) * ⊙ * (1 - ⊙) * √(⊙ + 3) = R2 * 1.08395919545674 • Périmètre de l'heptagramme régulier (ABCDEFG) - Étoile à sept branches de type {7/3} = R * 14 * ⊙*√(2 - 1/⊙) = R * 9.74253681381322 • Rapport : Aire de l'heptagone régulier de type {7/1} (ABCDEFG) / Aire de l'heptagramme régulier de type {7/3} (ABCDEFG). Tous les deux inscrit dans le cercle de rayon (R). = 1 / [2 * (1 - ⊙)] = 2.52445866976116 = 1 / 0.396124528390322 • Rapport : Périmètre de l'heptagone régulier de type {7/1} (ABCDEFG) / Périmètre de l'heptagramme régulier {7/3} (ABCDEFG). Tous les deux inscrit dans le cercle de rayon (R). = 1 / (2 *⊙) = 0.623489801858733 = 1 / 1.60387547160968
Heptagones de type {7/1} et les heptagrammes réguliers de type {7/2} et {7/3} Analyse métrique et trigonométrique des structures internes
Étude du triangle (CαF) - Triangle isocèle dont le sommet est (α) Angles [(α = 5π/7) ; (C = F = π/7)]
• Côtés latéraux égaux : (αC) et (αF) = R * [√(⊙ + 3)] / [√(2 + 1/⊙)] = R * [√(⊙ + 3)] / [√(S)] sachant que (S) = (2 + 1/⊙) = R * 1.08208834612853 • Base = (CF) = (AD) = R * √(⊙ + 3) = R * 1.94985582436365 • Hauteur (αV) du triangle (CαF) = R * 0.5 * √(⊙ + 3) * {[√(2 - 1/⊙)] / [√(2 + 1/⊙)]} = R * 0.5 * ⊙(⊙ + 3) / S = R * 0.5 * √(⊙ + 3) * {[√(2 - 1/⊙)] / [√(S)]} = R * 0.5 * 3/⊙ - (⊙ + 2) = R * 0.469500537673782 S = (1/⊙) + 2 • Aire du triangle (CαF) = R2 * 0.25 * (⊙ + 3) * {[√(2 - 1/⊙)] / [√(2 + 1/⊙)]} = R2 * 0.25 * 3/⊙ - (⊙ + 2) * √(⊙ + 3) = R² * 0.25 * ⊙ * √[(⊙ + 3)3] / S = R2 * 0.457729178962544
Étude du triangle (BαG) - Triangle isocèle dont le sommet est (α) Angles [(α = 5π/7) ; (B = G = π/7)]
• Côtés latéraux égaux : (αB) et (αG) ⇒ (αB) = le côté (AB) de l'heptagone (ABCDEFG) et également (BE'), (Bç) et (BC). • Le triangle (ABα) est isocèle ; son sommet est (B) et ses côtés latéraux sont (AB) et (αB). = R * [√(2 - 1/⊙)] = R * 0.867767478235117 • Base = (BG) (BG) est également l'arête de l'heptagramme (ABCDEFG) de type {7/2} = R * [⊙√(⊙ + 3)] = R * 2√(1 - 1/4⊙2) = R * 1.56366296493606 • Hauteur (αH) du triangle (BαG) = R * (1 - 1 / 2⊙) = R * 0.376510198141267 • Aire du triangle (BαG) = R2 * 0.25 * (2⊙ - 1) * √(⊙ + 3) = R2 * [0.25 *⊙3 * √(⊙ + 3/)3] / (S) = R2 * [0.25 *⊙3 * √(⊙ + 3/)3] / (⊙ + 1)2 = R2 0.294367526377119 S = (⊙ + 1)2 • ⇒ Les deux triangles (BαG) et (BAG) sont semblables et isométriques-isogoniques.
Étude du triangle (αKβ) - Triangle isocèle dont le sommet est (Κ) Angles [(K = 3π/7) ; (B = G = 2π/7)]
• Côtés latéraux égaux : (Κα) et (Κβ) • (Κα) est l'un des (14) côtés de l'heptagramme interne (KLNPQST) de type {7/2} = R * [√(2 - 1/⊙)] - [√(1 - ⊙3)] = R * [(1/⊙) - 1] * [√(1 - ⊙3)] = R * 0.171871991534174 • Base = (αβ) • (αβ) est l'un des sept côtés de l'heptagone régulier central (αβçδεφγ) de type {7/1} = R * [(1/⊙) - 1] * [√(2 - 1/⊙)] = R * 0.214320867893414 • Hauteur du triangle (αKβ) issue de son sommet (K) = R * 0.5 * ( 1 - ⊙) * √[(3 + ⊙) * √(1 - ⊙3)] = R * 0.134374933935895 • Aire du triangle (BαG) = R2 * 0.25 * [(1/⊙) - 1]2 * (1 - ⊙3) * √(⊙ + 3) = R2 * 0.014399676232130
Étude du triangle (BPG) - Triangle isocèle dont le sommet est (P) Angles [(P = 3π/7) ; (B = G = 2π/7)] Les triangle (BPG) et (DPE) sont semblables, équigonaux, mais non isométriques. Le rapport de longueur des côtés de (BPG) / (DPE) est égal à (⊙ + 1) et le rapport des surfaces vaut (⊙ + 1)2 = (S).
• Côtés latéraux égaux : (PB) et (PG) = R * ⊙2 * √(⊙ + 3) = R * 1.25396033766271 • Base = (BG) = R * [⊙√(⊙ + 3)] = R * 2√(1 - 1/4⊙2) = R * 1.56366296493606 • Rapport : côté (PB) / base (BG) = ⊙ = 0.801937735804839 • Rapport : côté (PB) / (PE) = (⊙+ 1) = 1.801937735804839 • Rapport : côté (BE) / (BP) = 1 / ⊙2 = 1.554958132087371 = 1 / 0.643104132107792 • Rapport : côté (BE) / (BG) = 1 / ⊙ = 1.24697960371747 = 1 / 0.801937735804839 • Hauteur (PH) du triangle (BPG) = R * 0.5 * ⊙3 * (⊙ + 3) = 0.980385669750946 • Aire du triangle (BPG) = R2 * 0.25 * (1 - ⊙3) * [√(⊙ + 3)] * S = R2 * 0.25 *⊙4* √(⊙ + 3)3 = R2 * 0.766496381571795 S = (⊙ + 1)2 • Rapport : Aire du triangle (BPE) / Aire du triangle (DPE) = (⊙ + 1)2 = S = 3.24697960371747
Étude de l'heptagramme (ABCDEFG) régulier (étoilé) de type {7/2} et l'heptagramme (ABCDEFG) régulier de type {7/3} puis l'heptagone de type {7/1} régulier convexe (S1S2S3S4S5S6S7)
• Côté (AS1) de l'heptagramme (ABCDEFG) de type {7/2} de (Schläfi) = R * [√(2⊙ - 1/)] / [√(2⊙ +1/] = R *⊙ *[ √(⊙ + 3/)] / (S) = R * 0.481574618807529 S = (1/⊙ + 2) • Rapport : côté (S1S2) / (AS1) = (1 / ⊙) = 1.24697960371747 • Aire du triangle (AS1B) Angles (S1) = 5π/7 ; (A) = (B) = π/7 = R2 * 0.25 *⊙ * [ √(⊙ + 3)] * [(2⊙ - 1/) / (2⊙ +1/)]) = R2 * [0.25 *⊙3 * √(⊙ + 3)3] / (S2) = R2 * [0.25 *⊙3 * √(⊙ + 3)3] / (⊙ + 1)4 = R2 * 0.090658877573513 • Rapport : Aire du triangle (ABG) / Aire du triangle (AS1B) = (⊙ + 1)2 = S = 3.2469796037175       • Aire de l'heptagramme type {7/2} (ABCDEFG) = R2 * 3.5 * [ √(⊙ + 3)] / [(⊙ + 1)2] = R2 * 3.5 * [ √(⊙ + 3)] / (S) = R2 * 2.10179804562351 • Périmètre de l'heptagramme type {7/2} (ABCDEFG) = R * 14 * ⊙ *[ √(⊙ + 3/)] / (S) = R * 6.74204466330541 Rapport : Aire de l'heptogramme (ABCDEFG) type {7/2} / Aire de l'heptogramme (ABCDEFG) type {7/3} = 1 / [⊙ * (1 - ⊙) * S] = 1 / ⊙3 = 1.93900107534757 = 1/ 0.515729471589256 Rapport : Périmètre de l'heptogramme (ABCDEFG) type {7/2} / Périmètre de l'heptogramme (ABCDEFG) type {7/3} = 1 / [⊙ √S] = 1 / [⊙ * (⊙ + 1)] = 0.692021471630095 = 1 / 1.44504186791263       • Apothème de l'heptagone (S1S2S3S4S5S6S7) = Hauteur (OH) du triangle (S1OS7) = R * (1 / 2⊙) = R * 0.623489801858733 = R * 1 / 1.60387547160968 • Côté (S1S2) de l'heptagone (S1S2S3S4S5S6S7) = R * (1 / ⊙) * [√(2⊙ - 1/)] / [√(2⊙ +1/] = R * [ √(⊙ + 3)] / [(⊙ + 1)2] = R * [ √(⊙ + 3)] / (S) = R * 0.600513727321002 • Rayon du cercle circonscrivant l'heptagone (S1S2S3S4S5S6S7) = R / [⊙ * (⊙ + 1)] = R / [⊙ * √(S)] = R * 0.692021471630095 = R * (1/1.44504186791263) • Aire du triangle (S1OS2) = R2 * (1/4) * [ √(⊙ + 3/)] / (S⊙) = R2 * (1/4) * [ √(⊙ + 3/)] / [⊙ * (⊙ + 1)2] = R2 * (1/4) * [ √(⊙ + 3/)] / (2⊙ + 1) = R2 * 0.187207092430411 • Aire de l'heptagone régulier (S1S2S3S4S5S6S7) = R2 * (7/4) * [ √(⊙ + 3/)] / (S⊙) = R2 * (7/4) * [ √(⊙ + 3/)] / [⊙ * (⊙ + 1)2] = R2 * (7/4) * [ √(⊙ + 3/)] / (2⊙ + 1) = R2 * 1.31044964701287 • Rapport : Aire de l'heptagone (ABCDEFG) / Aire de l'heptagone (S1S2S3S4S5S6S7) = ⊙2 * S = ⊙2 * (⊙ + 1)2 = ⊙* (2⊙ + 1) = 2.08814600002042 • Périmètre de l'heptagone régulier (S1S2S3S4S5S6S7) = R * 7 * [ √(⊙ + 3)] / [(⊙ + 1)2] = R * 7 * [ √(⊙ + 3)] / (S) = R * 4.20359609124702 • Rapport : Périmètre de l'heptagone (ABCDEFG) / Périmètre de l'heptagone (S1S2S3S4S5S6S7) = [⊙ * (⊙ + 1)] = [⊙ * √(S)] = R * 1.44504186791263 = R * (1/0.692021471630095)
Étude des éléments géométriques composants les polygones internes centraux : l'heptagone étoilé régulier (= heptagramme) (KLNPQST) et l'heptogone (αβçδεφγ) et ses structures internes (triangles, heptagramme...).
* Pour calculer la valeur de chaque segment dans les heptagones ((KLNPQST) et (αβçδεφγ) , il faut multiplier la valeur du segment correspondant dans l'heptagone (ABCDEFG) par la          * [⊙ √(1 - ⊙)] = [⊙2 / √(⊙ + 1)] = [⊙2 / √(S)] = 0.356895867892209      quand il s'agit des heptagones dont les sommets sont (KLNPQST) (longueurs métriques)   - Par : [⊙ √(1 - ⊙)]2 = [⊙2 / √(⊙ + 1)]2 = [⊙2 / √(S)]2 = 0.127374660518533      pour obtenir les aires correspondante    - [(1/⊙) - 1] = (0.246979603717466 = 1 / 4.04891733952232)     quand il s'agit des heptagones dont les sommets sont (αβçδεφγ)   * S'il s'agit de l'étude de surface, il faut multiplier l'aire d'une structure dans l'heptagone (ABCDEFG) par la       - [(1/⊙) - 1]2 = (0.060998924652436 = 1 / 16.3937316222845) pour obtenir l'aire correspondante dans les heptagones et (αβçδεφγ).
Exemples de calcul
• Rayon (Oα) du cercle circonscrivant l'heptagone (αβçδεφγ) = R *[(1/⊙) - 1] = R * 0.246979603717466 • Aire disque du rayon (Oα) = R2 * π * [(1/⊙) - 1]2 = R2 * 0.191633773564972 • Côtés de l'heptagone régulier (αβçδεφγ) = R * [(1/⊙) - 1] * √(2 - 1/⊙) = R * 0.214320867893414 • segment l'heptagone régulier (αδ) et (αε) = R * [(1/⊙) - 1] * √(⊙ + 3) = R * 0.481574618807527 • Aire de l'heptagone régulier (αβçδεφγ) = R2 * (7/4) * ⊙ * [(1/⊙) - 1]2 * √(3 + ⊙) = R2 * 0.166918078914896