* Cette technique de construction se déroule comme le suivant :
   º - On trace le segment (BC) est de longueur = ω = (1) une unité. Ce segment sera la base du triangle isocèle (ABC).
   º - Le point M se situe au milieu du segment (BC).
   º - On trace du point (M) l’axe du segment (BC).
   º - De (B) et (C) on trace deux cercles chacun de rayon égal à (BC) = ω.
   º - Ces deux cercles (A et B) se croisent en (S), un point situé sur l’axe du (BC).
   º - De ce traçage résulte le triangle équilatéral (BCS) dont les côtés sont égaux à (BC) = ω.
   º - Du point (S) on trace un cercle de rayon = ω.
   º - Les deux points (P) et (Q) résultent de l’intersection des deux cercles (A et B) avec le cercle dont le centre est le point (S).
   º - On trace les deux segments (BQ) et (CP).
   º - Le segment (BQ) passe par le point (U) situé au milieu du côté (CS).
   º - Le segment (CP) passe par le point (T) situé au milieu du côté (BS).
   º - On trace une droite passant par le deux points (T et U), cette droite croise le cercle (B) en (G) et le cercle (C) en (F).
   º - Les prolongements des deux segments (BF) et (CG) se croisent sur l’axe de (BC) en (A) ; ce point est le sommet du triangle (BAC).

   º - Le triangle isocèle (BAC) résultant de cette construction se caractérise par le fait que son angle du sommet (BAC) = (π/ 7) et ses deux angles de la base (ABC et ACB) valent (3π/ 7).

   º - Le cercle dont le centre est le sommet (A) et le rayon = ω = (BC) croise le côté (AB) en (D) et le côté (AC) en (E).
   º - Dans cette construction les segments (AD, AE, DG, EF, BG, CF et enfin BC) sont égaux et de longueur = ω.
   º - La figure obtenue est un heptagone irrégulier (ADGBCFE) inscrit dans le triangle (ABC) ; elle se compose de trois couples croisés de triangles isocèles et égaux deux à deux : (ADG) = (AEF) ; (DGB) = (EFC) et (BCF) = (CBG)

   º - L'égalité des segments (AD, AE, DG, EF, BG, CF et enfin BC) dans cette figure (ADGBCFE) permet de prouver que l’angle (BAC) équivaut (π/ 7) et les angles (ABC et ACB) valent (3π/ 7) :

Dans le triangle (ADG) : l'angle (DAG) = (DGA) = (BAC) = (x) ⇒ (ADG) = π - (2x).
Dans le triangle (BGD) : l'angle (BDG) = (DBG) = π - (π - 2x) = (2x) ⇒ (BGD) = π - 2(2x) = π - (4x).
Dans le triangle (CBG) : l'angle (BGC) = (BCG) = π - [(DGA) + (BGD)] = π - [x + π - (4x)] = (3x).
Dans le triangle (BAC) : (BAC) + (ABC) + (ACB) = π = (x) + (3x) + (3x) = (7x) ⇒ π = (7x) ⇒ (x) = ( π/7) ⇒
(BAC) = (π/7) et (ABC) = (ACB) = (3π/7).

* Dans l'heptagone irrégulier (ADGBCFE) on peut calculer les longueurs de ses différents segments en prenant comme une base de calculs la constante prédominante que j'ai trouvé dans les heptagones réguliers, il s'agit de la constante que je symbolise par (⊙).

(ω) = BC = AD = AE = DG = EF = BG = CF.
(⊙) = (Constante HEPTA) = [2cos (π/7) - 1] = (0.801937735804839...).

Le côté (AB) = (AC) = ω * (1/⊙ + 1) = ω * (2.24697960371747).
Le segment (AF) = (AG) = ω * (⊙ + 1) = ω * (1.801937735804839).
Le segment (BF) = (CG) = ω * √(1 - ⊙) = ω * (0.445041867912628).
Le segment (DF) = (EG) = ω * ⊙ = ω * (0.801937735804839).
Le segment (DE) = (BF) = (CG) = ω * √(1 - ⊙) = ω * (0.445041867912628).
Le segment (BD) = (CE) = ω * (1 / ⊙) = ω * (1.24697960371747).
Le segment (FG) = (DF) = (EG) = ω * ⊙ = ω * (0.801937735804839).
Le segment (BE) = (CD) = ω * {√[(1/ ⊙² + 1) - [1/(⊙ + 1)]} = ω * √(2.554958132087371 - 0.554958132087371) = ω * √2.
Le rapport (BD / DF) = (CE / EG) = (1/ ⊙²) = (1.55495813208737).
Le rapport (FG / DE) = ⊙ / √(1 - ⊙) = (⊙ + 1) = (1.801937735804839) = (1 / 0.55495813208737).
Rayon du cercle circonscrivant le triangle (ABC) = ω * [1 / (√(2 - 1/ ⊙)] = ω * (1.15238243548124).

Les étapes de cette construction sont :

1) - Tracer le cercle (O) circonscrivant le triangle (ABC) ;
2) - Dans ces conditions, le côté (BC) est également le côté de l'heptagone régulier convexe inscrit dans le cercle dont le centre est (O) ;
3) - En divisant à l'aide du compas le périmètre du cercle (O) en sept arcs circulaires égaux à l'arc circulaire (BC) il résulte la détermination les positions des sept sommets de l'heptagone et par conséquent la possibilité du traçage de l'heptagone recherché.

L'angle (BOC) vaut la valeur de (2π/7), il s'agit de l'angle du centre de l'heptagone régulier convexe.

• Construction d’un heptagone régulier par la construction exacte de l’angle (π/7) et (2π/7).
  Technique simple et inédite (Auteur : Aly ABBARA).
  
  
• Cette méthode consiste à :
  
• 1) - Tracer un cercle dont le centre est le point (O) et le diamètre est (AB) qui équivaut (929 unités)
• 2) - Tracer un cercle dont le centre est (A) et le rayon est égal à (837 unités) ; ce cercle coupe le cercle (O) en deux points : (C) et (D).
  
  
• Grâce à ce traçage très simple, on obtient deux triangles rectangles (ABC) et (ABD) possédant les éléments suivants :
  
  
  • Angles :
    

• Angle (BAC) = (BAD) = (π/7) = (25.7142857142857)°.
  Le sinus de cet angle (BAC = (BC/AB) ) = (0.433883739117558) qui est le sinus de l'angle (π/7).
  
• L'angle (BOC) = (BOD) = (2π/7) = (25.7142857142857)° * 2 = (51.4285714285714)°.
  
  
• Angle (CAD) = 2 * (BAC) = (2π/7) = (51.4285714285714)°
  C'est la valeur exacte (sans rapprochement) en degré de l'angle interne (central) d'un heptagone régulier convexe.
  
  
• Angle (ACB) = (ADB) = (90)° ou exactement (90.00001)° ; donc les triangles (ABC) et (ABD) sont rectangles.
  
  
• Angle (ABC) = (ABD) = (64.28570)°  ≈ (5π/14).
  
  
• Angle (BAC) + Angle (ABC) + Angle (ACB) = (25.7142857142857)° + (64.28570315836204)° + (90.00001112735279)° =
  = (180)° = (0.44879895051281)^rad + (1.12199718207314)^rad + (1.57079652100384)^rad = (3.14159265358979)^rad = (π).
  

• Côtés :
  
  
  • (AB) = (929) unités = [(3 * 4 * 7 * 11) + 5].
    C'est le diamètre du cercle (O) et l'hypoténuse des deux triangles rectangles (ABC) et (ABD).
    
    
  • (AC) = (AD) = (837) unités = (3³ * 31).
    
    
  • (BC) = (BD)  = (403.077993640211) unités. = (AB) * sin(π/7) = 929 * 0.433883739117558.
    
    (BC) et (BD)  sont les cordes des secteurs circulaires des angles (BÂC) = (BÂD).
    Ils sont également deux des sept côtés de l’heptagone régulier inscrit dans le cercle (O). Alors pour tracer l'heptagone régulier inscrit dans le cercle (O), il suffit, à l'aide du compas, de diviser le périmètre du (O) en sept arcs circulaires chacun équivaut à l'arc (BC) ou (BD).
    
    
  • Pourquoi les valeurs (929 et 837)?!
    Parce que se sont les seules valeurs trouvées pour (AB) et (AC) qui permettent de construire un triangle rectangle inscriptible dans un cercle de diamètre (AB) et possédant un angle qui vaut exactement (π/7).
    On obtient les mêmes résultats en traçant le triangle (ABC) avec des valeurs pour (AB) et (AC) équivalant à (92.9 et 83.7 unités) ou (9.29 et 8.37 unités) parce que ces dimensions sont toujours constructibles à l'aide d'une règle précise.
    
    
• En traçant un cercle quelconque dont le centre est (A) on obtient les deux points (C') et (D') produits par l'intersection de ce cercle avec respectivement (AC) et (AD). Le segment (C’D’) est en effet vaut le côté de l’heptagone inscrit dans ce nouveau cercle de centre (A).

- Cette méthode de construction d'heptagone régulier approché est très simple malgré sa haute précision ; elle consiste à :

* Tracer un cercle (O) de diamètre (AB) = (57.9 unités).

* Diviser le diamètre (AB) en deux segments : (AS) = (47 unités) et (BS) = (10.9 unités).

* Tracer de (S) une perpendiculaire coupant le cercle (O) en (C) et (D).

- L’angle (COB) est l’angle interne central d’un heptagone régulier convexe parce que :

° Le cosinus de cet angle (COB) = (OS/OC) = (18.05 / 28.95) = 0.623488773747841 = cos(51.428647)° ≈ cos(2π/7) avec une approximation de l’ordre de (+7.5E-5)°, soit (+0.000075)°.

- Pour 7 arcs égaux à (COB) on obtient (360.000527..)° soit une approximation pour un cercle complet de l’ordre de (+0.00053)°.

- Dans cette construction l’angle (CAD) est égal à l’angle (COB) d’où la possibilité de construire de l’heptagone inscrit dans quelconque cercle dont le centre est (A) et qui coupe (AC) en (E) et (AD) en (F), parce que l’arc circulaire (EF) est l’arc de l’angle interne central
de cet heptagone régulier convexe.

+ J'ai conçu une méthode de construction approchée rapide et très simple, mais un peut moins précise que la méthode précédente, il s'agit de :
* Diviser en huit parties égales le rayon (OA) du cercle dont le centre est (O) dans lequel on veut construire un heptagone régulier, puis placer sur ce rayon (OA) le point (S) qui réalise une section (OS / OA) = (5 / 8).
* Du point (S) tracer une perpendiculaire sur (OA) coupant le cercle (O) en (C) et (D).

* Le cosinus de l'angle (COA) est égal à (5/8) = 0.625 ⇒ l'angle (COA) est égal dans cette construction à (51.3178125465106)°, valeur très proche de l'angle interne central de l'heptagone régulier et qui vaut (2π/7) = (51.4285714285714)°, donc une différence de l'ordre de (-0.110758882060772)° = (-1/10) de degré entre la valeur de l'angle (COA) et celle de (2π/7) soit ≈ (-0.775...)° pour (7) arcs égaux de (COA) c'est-à-dire, moins d'un degré angulaire. Cette différence est imperceptible lors de la construction sur papier (A4).

On obtient la même valeur pour l'angle central de l'heptagone en construisant dans le cercle (O) un triangle (BOA) équilatéral dont la base est (OA = rayon du cercle O), puis du sommet (B) de ce triangle on trace un cercle de rayon égal à sa hauteur qui coupe le cercle (O) en (C), alors dans ces conditions, le cosinus de l'angle interne central (BOC) équivaut à (0.625) = cos(51.3178125465106)° et la longueur de (BC) et très proche de la longueur du côté de l'heptagone régulier inscrit de le cercle (O).