Heptagone régulier - Construction non approchée - Technique inédite crée par Aly ABBARA
Heptagone régulier convexe et étoilé - Méthode basée sur la construction exacte des angles équivalant à (π/7) et (2π/7) Méthode non approchée et inédite.
Auteur : Dr Aly ABBARA
MAJ - 15 Décembre, 2024
  • Construction d’un heptagone régulier par la construction exacte de l’angle (π/7) et (2π/7).
    Technique simple et inédite (Auteur : Aly ABBARA).

  • Cette méthode consiste à :
  • 1) - Tracer un cercle dont le centre est le point (O) et le diamètre est (AB) qui équivaut (929 unités)
  • 2) - Tracer un cercle dont le centre est (A) et le rayon est égal à (837 unités) ; ce cercle coupe le cercle (O) en deux points : (C) et (D).

  • Grâce à ce traçage très simple, on obtient deux triangles rectangles (ABC) et (ABD) possédant les éléments suivants :

    • Angles :
    • Angle (BAC) = (BAD) = (π/7) = (25.7142857142857)°.
      Le sinus de cet angle (BAC = (BC/AB) ) = (0.433883739117558) qui est le sinus de l'angle (π/7).
    • L'angle (BOC) = (BOD) = (2π/7) = (25.7142857142857)° * 2 = (51.4285714285714)°.

    • Angle (CAD) = 2 * (BAC) = (2π/7) = (51.4285714285714)°
      C'est la valeur exacte (sans rapprochement) en degré de l'angle interne (central) d'un heptagone régulier convexe.

    • Angle (ACB) = (ADB) = (90)° ou exactement (90.00001)° ; donc les triangles (ABC) et (ABD) sont rectangles.

    • Angle (ABC) = (ABD) = (64.28570)°  ≈ (5π/14).

    • Angle (BAC) + Angle (ABC) + Angle (ACB) = (25.7142857142857)° + (64.28570315836204)° + (90.00001112735279)° =
      = (180)° = (0.44879895051281)rad + (1.12199718207314)rad + (1.57079652100384)rad = (3.14159265358979)rad = (π).
  • Côtés :

    • (AB) = (929) unités = [(3 * 4 * 7 * 11) + 5].
      C'est le diamètre du cercle (O) et l'hypoténuse des deux triangles rectangles (ABC) et (ABD).

    • (AC) = (AD) = (837) unités = (33 * 31).

    • (BC) = (BD)  = (403.077993640211) unités. = (AB) * sin(π/7) = 929 * 0.433883739117558.

      (BC) et (BD)  sont les cordes des secteurs circulaires des angles (BÂC) = (BÂD).
      Ils sont également deux des sept côtés de l’heptagone régulier inscrit dans le cercle (O). Alors pour tracer l'heptagone régulier inscrit dans le cercle (O), il suffit, à l'aide du compas, de diviser le périmètre du (O) en sept arcs circulaires chacun équivaut à l'arc (BC) ou (BD).

    • Pourquoi les valeurs (929 et 837)?!
      Parce que se sont les seules valeurs trouvées pour (AB) et (AC) qui permettent de construire un triangle rectangle inscriptible dans un cercle de diamètre (AB) et possédant un angle qui vaut exactement (π/7).
      On obtient les mêmes résultats en traçant le triangle (ABC) avec des valeurs pour (AB) et (AC) équivalant à (92.9 et 83.7 unités) ou (9.29 et 8.37 unités) parce que ces dimensions sont toujours constructibles à l'aide d'une règle précise.

  • En traçant un cercle quelconque dont le centre est (A) on obtient les deux points (C') et (D') produits par l'intersection de ce cercle avec respectivement (AC) et (AD). Le segment (C’D’) est en effet vaut le côté de l’heptagone inscrit dans ce nouveau cercle de centre (A).
Heptagone régulier convexe - Construction approchée de haute définition inédite - Auteur - Aly ABBARA
Heptagone régulier convexe et étoilé - Méthode basée sur la construction des angles équivalant à (π/7) et (2π/7) - Méthode inédite approchée de haute précision (de l'ordre de +0.000075° par angle)
Auteur Aly ABBARA.

- Cette méthode de construction d'heptagone régulier approché est très simple malgré sa haute précision ; elle consiste à :

* Tracer un cercle (O) de diamètre (AB) = (57.9 unités).

* Diviser le diamètre (AB) en deux segments : (AS) = (47 unités) et (BS) = (10.9 unités).

* Tracer de (S) une perpendiculaire coupant le cercle (O) en (C) et (D).

- L’angle (COB) est l’angle interne central d’un heptagone régulier convexe parce que :

    ° Le cosinus de cet angle (COB) = (OS/OC) = (18.05 / 28.95) = 0.623488773747841 = cos(51.428647)° ≈ cos(2π/7) avec une approximation de l’ordre de (+7.5E-5)°, soit (+0.000075)°.

- Pour 7 arcs égaux à (COB) on obtient (360.000527..)° soit une approximation pour un cercle complet de l’ordre de (+0.00053)°.

- Dans cette construction l’angle (CAD) est égal à l’angle (COB) d’où la possibilité de construire de l’heptagone inscrit dans quelconque cercle dont le centre est (A) et qui coupe (AC) en (E) et (AD) en (F), parce que l’arc circulaire (EF) est l’arc de l’angle interne central
de cet heptagone régulier convexe.

+ J'ai conçu une méthode de construction approchée rapide et très simple, mais un peut moins précise que la méthode précédente, il s'agit de :
* Diviser en huit parties égales le rayon (OA) du cercle dont le centre est (O) dans lequel on veut construire un heptagone régulier, puis placer sur ce rayon (OA) le point (S) qui réalise une section (OS / OA) = (5 / 8).
* Du point (S) tracer une perpendiculaire sur (OA) coupant le cercle (O) en (C) et (D).

* Le cosinus de l'angle (COA) est égal à (5/8) = 0.625 ⇒ l'angle (COA) est égal dans cette construction à (51.3178125465106)°, valeur très proche de l'angle interne central de l'heptagone régulier et qui vaut (2π/7) = (51.4285714285714)°, donc une différence de l'ordre de (-0.110758882060772)° = (-1/10) de degré entre la valeur de l'angle (COA) et celle de (2π/7) soit ≈ (-0.775...)° pour (7) arcs égaux de (COA) c'est-à-dire, moins d'un degré angulaire. Cette différence est imperceptible lors de la construction sur papier (A4).

On obtient la même valeur pour l'angle central de l'heptagone en construisant dans le cercle (O) un triangle (BOA) équilatéral dont la base est (OA = rayon du cercle O), puis du sommet (B) de ce triangle on trace un cercle de rayon égal à sa hauteur qui coupe le cercle (O) en (C), alors dans ces conditions, le cosinus de l'angle interne central (BOC) équivaut à (0.625) = cos(51.3178125465106)° et la longueur de (BC) et très proche de la longueur du côté de l'heptagone régulier inscrit de le cercle (O).
Pentagone régulier - Construction à l'aide du compas et la règle
Heptagone régulier convexe et étoilé - Construction approchée de haute précision de l'ordre de +2*10-5
Auteur : Dr Aly ABBARA
MAJ - 15 Décembre, 2024

Pour construire un pentagone régulier convexe ou étoilé on peut suivre la simple procédure suivante :
Pour tracer un heptagone régulier inscrit dans un cercle (O) j'ai conçu la méthode suivante de très bonne approximation :
Construire géométriquement l'angle la plus proche possible de l'angle dont la valeur est (2π/7 = 51.4285714285714° = 0.897597901025654 rad) qui est l'angle du centre de l'heptagone régulier, pour cela il faut construire un triangle dont un de ses angles a cette valeur (2π/7) ou la valeur approximative la plus proche.

Parmi les meilleurs solutions pour atteindre cette valeur approximative de (2π/7) est de construire un triangle (ABC) avec les caractéristiques suivantes :
* Les trois côtés (AB, AC et BC) ont respectivement les longueurs (60, 51.23 et 58) unités, cela permet de créer un triangle (ABC) possédant les trois angles :
* [(A) = 62.26999621564541°] ; [(B) = 51.42859165472268°] et [(C) = 66.30141212963191°].

Donc l'angle (B) dans ce triangle équivaut à (0.89759825403859 rad) ou (51.42859165472268)° avec une approximation positive par rapport à l'angle (2π/7) égale à (+2.02261512782798E-5) ou (+ 2 x 10-5 = +0.00002).

Pour sept arcs circulaires de cet angle (B) on cumule (360.000141583059)° donc une approximation de l'ordre de (+ 0.0001) ou (+ 1 x 10-4) et 360.000141583059 / 360 = 1.00000039328628 ou (+ 1 * 10-6), c'est-à-dire de l'ordre de million.

Une fois le triangle (ABC) est construit, il faut utiliser son sommet (B) comme étant le centre du cercle dans lequel l’heptagone régulier sera inscrit. La corde du secteur circulaire de l'angle (B) correspond au côté de l'heptagone régulier à construire comme le montre les figures ci-dessous.
Découpage d'un triangle équilatéral (ABC) en quatre fragments pouvant être utilisés pour constituer un carré de même aire que le triangle (ABC)
Pentagone régulier convexe - Construction à l'aide du triangle d'or (triangle du pentagone)
Construction d’un heptagone régulier dans un cercle par le partage de son rayon en deux segments réalisant
un rapport de section équivalent à (5/8)
Auteur : Aly ABBARA

• Dans un cercle (O) dont le diamètre est (AB).

* On divise le rayon (OB) en (8) parties égales.

* Du (S), le point de la jonction de la (5)ème partie à la (6)ème partie, on trace une perpendiculaire sur (AB) qui croise le cercle (O) en (C) est (D).

* Les deux segments construits (BC) et (BD) sont également deux côtés de l’heptagone régulier inscrit dans le cercle (O).

• Dans cette technique de construction les angles internes centraux (BOC et BOD) de l’heptagone est égal ≈ (51.3178125465106)° sachant que l’angle exact est égal à (2π/7) ≈ (51.4285714285714)° soit une différence égale à ≈ (-0.11)° et de (-0.78)° pour le cercle complet.
Heptagone régulier - Construction par la méthode 5 sur 8 - Auteur Aly ABBARA
Construction d’un heptagone régulier par le traçage d’un triangle équilatéral

* (AB) est le diamètre du cercle (O) et de rayon (R)

* De (A) on trace un arc de cercle de rayon égal à (AO) ; cet arc croise le cercle (O) en deux points (C) et (D).
Le triangle formé (ADO) est équilatéral avec le côté égal au rayon du cercle (O).

* On trace la corde (CD) qui coupe (AB) en (M).
(DM) est la hauteur issue de (D) dans le triangle (ADO).

* On trace de (D) un arc de cercle de rayon égal à (DM) qui croise le cercle (O) en (E).
(DE) est l’un des sept côtés de heptagone régulier inscrit dans le cercle (O).

Dans cette construction :

* (DM) = (DE) = R * [√(3)] / 2 ≈ (R * 0.8660..) sachant que la valeur exacte de (DE) est ≈ (R * 0.8678...), donc la différence entre la valeur réelle de chaque côté de l'heptagone régulier inscrit dans le cercle (O) et la valeur obtenue par cette méthode est de l'ordre de ≈ (- R * 0.002555...).
Exemple : pour R = 100 cm (1 mètre), la différence sera ≈ (02,555... mm).

* Le cosinus de l’angle (DOE) dans cette construction est égal à (5/8), donc l'angle (DOA), cette valeur correspond à un angle interne central de l’heptagone égal à (51.3178125465106)° sachant que l’angle exact est égal à (2π/7) ≈ (51.4285714285714)° soit une différence égale à ≈ (-0.11)° et de ≈ (-0.78)° pour le cercle complet [soit sept angles égaux à (DOE)].
Heptagone régulier - Construction par le traçage d'un triangle équilatéral
Auteur : Dr Aly ABBARA
aly-abbara.com
MAJ : 15 Décembre, 2024
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