Problème de la quadrature du cercle :

Dans cet article je propose une solution exacte au problème de la quadrature cercle basée sur trigonométrie cyclique et non sur la construction à la règle et au compas.

Le procédé consiste à construire le graphique de la fonction trigonométrique suivante :

f(x) = 1/[8cos³(x√π)] + 1/[2cos²(x√π)] - 1/[2cos(x√π)] - 0.875   (Auteur : Aly Abbara).

Sur le graphique, l'extremum (W) =( √π, 0) ⇒ le segment de la ligne des abscisses situé entre les points (0 et W) est égal à (√π).

Cette valeur (√π) est également la valeur du côté du carré dont l'aire est égale à celui du cercle trigonométrique (de rayon = 1)  ⇒
il suffit, comme c'est montré dans cette démonstration, de construire un carré dont le côté est le segment (0W) pour obtenir un carré de longueur de côté égale à (√π) et d'aire égale à (π), c'est-à-dire égale à l'aire du cercle trigonométrique (R²π = 1² * π = π).

L'abcisse de l'extremum (B1) est égale à 2√π.

Tous les extremums de la fonction f(x) précédentes du type (x, 0) sont de valeur (√π, 0) ou ses multiplications entières.
Tous les extremums de la fonction f(x) précédentes du type (x, -0.75) sont de valeur (2√π, -0.75) ou ses multiplications entières.

Historique du problème de la quadrature du cercle :
Il s'agit d'un problème géométrique posé de 1800 avant J.-C. : « Est-il possible de construire à la règle et au compas, un carré ayant la même aire qu'un cercle donné ».

Ce problème n' a été résolu qu'un 1882 par Lindemann qui énonça l'impossibilité de la réalisation de cette construction (à la règle et au compas).

Le problème de la quadrature du cercle est équivalent au « Problème de la rectification du cercle : Est-il possible, par construction à la règle et au compas, de trouver un segment dont la longueur soit celle de la circonférence d'un cercle donné ». Ce problème fut étudié depuis l'antiquité et c'est Lindemann, en 1882 qui confirma l'impossibilité de résoudre ce problème par la construction à l'aide de la règle et au compas.

Dans l'antiquité égyptienne, on connait « La formule d'Ahmès » qui figure sur le « Papyrus Rhind » datant d'environ 1650 avant J.-C. et copié d'un document plus ancien de deux siècles. Dans ce document Ahmès donna sa solution pour trouver l'aire d'un disque de diamètre (D) : diminuer ce diamètre d'un neuvième, alors l'aire du cercle vaut le carré du résultat obtenu.

Selon cette formule d'Ahmès : pour un cercle trigonométrique (de rayon = 1 et diamètre = 2), sont diamètre vaut
(8/9 * 2)² = 3.16049382716049 ≈ 3.1605 ≈ (π + 0.0189).

Pour résoudre le problème de la quadrature du cercle, les quatre auteurs de la géométrie du sacrifice en Inde védique (les Sulbasutras) donnent cette solution : diviser le diamètre du cercle en quinze parties égales et le réduire de deux d'entre elles, cela donne la valeur approchée du côté du carré d'aire équivalente celui de cercle.
Selon cette formule, pour le cercle trigonométrique le côté du carré = (13/15) * 2 ≈ 0.867 * 2 ≈ 1.7333 ~.
π dans cette approche vaut environ (≈ 3.00444444444444).