Soit :
G1 = centre de gravité du triangle (ABD)
G2 = centre de gravité du triangle (ABC)
G3 = centre de gravité du triangle (BCD)
G4 = centre de gravité du triangle (ACD)

Les quatre points (G1, G2, G3, G4) sont les sommets d’un quadrilatère (G1G2G3G4) dont les caractéristiques sont :

1 - Il est semblable au quadrilatère (ABCD) ⇒ les deux quadrilatères (G1G2G3G4) et (ABCD) sont isogoniques.

2 - Un rapport d’homothétie = (3) ⇒ la longueur de chaque côté de (G1G2G3G4) équivaut au (1/3) de ce du quadrilatère (ABCD).

3 - L’aire de quadrilatère (G1G2G3G4) équivaut (1/9) de celle du quadrilatère (ABCD).

4 - Les diagonales du quadrilatère (G1G2G3G4) sont parallèles aux celles du diagonales (ABCD).

5 - Les côtés du quadrilatère (G1G2G3G4) sont parallèles aux côtés d’(ABCD) :
(G3G4 // AB), (G1G4 // BC), (G1G2 // CD) et enfin, (G2G3) // AD).

* Dans la figure ci-dessus, les segments (aà et cc') reliant respectivement les milieux des côtés (CD et BC) et (AB et AD) sont (selon le théorème de Thalès) parallèles à la diagonale (BD) du quadrilatère (ABCD) et de longueur égale à la moitié de cette diagonale. Sur le même principe les segments (ac et a'c') sont parallèles à la diagonale (AC) du quadrilatère (ABCD) et le quadrilatère (aa'c'c) est un parallélogramme.

G2G4 = 2/3 * (aa') = 1/3 * (BD).
G1G3 = 2/3 * (a'c') = 1/3 * (AC).

* Dans un triangle (ABC) on peut calculer la longueur des médianes sans introduire dans le calcul les valeurs trigonométriques des angles de ce triangle :

° - Médiane (Aa') = √{0.5 * [(AB² + AC²) - (BC²/2)]}
° - Médiane (BN) = √{0.5 * [(AB² + BC²) - (AC²/2)]}
° - Médiane (Cc') = √{0.5 * [(AC² + BC²) - (AB²/2)]}

Consulter également : les deux "Bimédianes" d'un quadrilatère.

L'intérêt de la figure ci-dessus est de démontrer que le centre de gravité d'un quadrilatère quelconque et différent des centres de gravité (G1, G2, G3 G4) des quatre triangles intérieurs au quadrilatère (ABCD) et résultant de sa triangulation.

Les quatre segments (AG3, BG4, CG1 et DG2) sont définis comme étant les médianes du quadrilatère (ABCD), elles sont concourantes en un seul point (G) qui est par définition le centre de gravité de ce quadrilatère (ABCD).