« Cercle des huit points de Brahmagupta »
Brahmagupta : mathématicien indien de VIIe siècle (598-670)
Ce théorème a été démontré en 1944 par le mathématicien américain Louis BRAND (1885 - 1971)
Soit :
- (ABCD) un quadrilatère orthodiagonal (ses deux diagonales (AC et BC) sont perpendiculaires l'un sur l'autre).
- Les points (E, F, G et H) sont respectivement les milieux des côtés (AB, BC, CD et DA).
- (Ee) est la projetée perpendiculaire issue de (E) sur le côté opposé (CD).
- (Ff) est la projetée perpendiculaire issue de (F) sur le côté opposé (AD).
- (Gg) est la projetée perpendiculaire issue de (G) sur le côté opposé (AB).
- (Hh) est la projetée perpendiculaire issue de (H) sur le côté opposé (BC).
Selon Brahmagupta :
Les huit points (E, g, F, h, G, e, H, f) sont cocycliques (sur un même cercle de centre (O)
Le cercle (O) est appelé le « Cercle des huit points de Brahmagupta ».
Remarques :
* - Des intersections entre les quatre projetées orthogonales (Ee, Ff, Gg et Hh) résulte un quadrilatère (A'B'C'D') semblable et non isométrique au quadrilatère initial (ABCD).
* - Il existe sur la figure ci-dessus une rotation antihoraire de (90°) du quadrilatère (A'B'C'D') par rapport au quadrilatère (ABCD).
* - Les deux diagonales (A'C' et B'D') du quadrilatère (A'B'C'D') sont jointes respectivement aux diagonales (BD et AC) avec (S) comme le point d'intersection orthogonale commun entre ses diagonales (A'C', B'D', BD, AC).
* - Dans le cas particulier où le quadrilatère initial (ABCD) est orthodiagonal et cyclique (inscriptible), alors les quatre projetées orthogonales (Ee, Ff, Gg et Hh) deviennent concourantes en un seul point, c'est le point (S) résultant de l'intersection orthogonale des deux diagonales du quadrilatère (ABCD), donc dans ces conditions les projetées orthogonales (Ee, Ff, Gg et Hh) ne forment pas, par intersection, un quadrilatère (A'BC'D') car il est réduit en un point (S).
* Formule de Brahmagupta :
Si (Ζ) = surface d'un quadrilatère cyclique (inscriptible) (ABCD).
(α, β, γ, δ) sont respectivement les longueurs des côtés (AB, BC, CD, DA).
(λ) = le demi périmètre du quadrilatère (ABCD) = 0.5 * (α + β + γ + δ).
Surface d'un quadrilatère cyclique (ABCD) = Z = √[(λ - α)(λ - β)(λ - γ)(λ - δ)].
Consulter également :
- Théorème de Brahmagupta pour quadrilatère cyclique et orthodiagonal.
- Consulter également :
- Étude d'un triangle dont les trois côtés sont connus ; triangle orthique, cercle d'Euler
- Étude d'un triangle dont deux côtés et un angle sont connus
- Étude d'un triangle dont un côté et deux angles collatéraux sont connus
Images :
- Détermination du centre d'un cercle à l'aide du compas et de l'équerre.
- Le triangle orthique du triangle ABC, son orthocentre, le cercle d'Euler (le cercle circonscrit au triangle orthique), le triangle dont les sommets sont les pieds des médianes du triangle ABC, le centre de gravité du triangle ABC, le cercle circoncit et inscrit du triangle ABC, et enfin la droits d'Euler dans le triangle ABC et ses points remarquables.
- Le triangle orthique du triangle ABC, son orthocentre, le cercle d'Euler (le cercle circonscrit au triangle orthique) et enfin
la droits d'Euler dans le triangle ABC et ses points remarquables.
- Les bissectrices du triangle (ABC) dont leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans ce triangle
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MAJ : 26 Février, 2025