Définition du quadrilatère inscriptible (cyclique) :

* - Un polygone à quatre côtés inscriptible dans un cercle. Les deux diagonales peuvent être ou non orthodiagonles (perpendiculaires) l'une sur l'autre.
Les quatre sommets de cette figure sont décrits comme étant cocycliques (appartiennent au même cercle).


* - Théorème (relation) de Ptolémée (Claudius 90 - 168 ap J.-C.) pour un quadrilatère cyclique :

Dans un quadrilatère (ABCD) convexe inscriptible (cyclique), les relations distingtives de Ptolémée entre les côtés (AB, BC, CB et DA) et les deux diagonales (AC et BD) sont :

(ABCD) est quadrilatère cyclique si, et seulement si :
(AC) * (BD) = [(AB) * (CD)] + [(BC) * (DA)].
Textuellement : le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés.

Seconde théorème de Ptolémée pour quadrilatère cyclique :

(AC) / (BD) = {[(AB) * (CD)] + [(BC) * (CD)]} / {[(AB) * (BC)] + [(CD) * (DA)]}.

D'autres formulations du Théorème de Ptolémée :

1)- Soient (A, B, C, D) quatre points du plan, la relation entre ces quatre points est :
[(AB) * (CD)] + [(BC) * (DA)] ≥ (AC) * (BD).
Cette relation est une égalité (=) si, et seulement si (A, B, C, D) sont colinéaires (se situant sur une même ligne) ou cocycliques avec (A, C) séparant (B, C).

2)- Soit (ABCD) est un quadrilatère convexe alors on a l'« Inégalité de Ptolémée » :

[(AB) * (CD)] + [(BC) * (DA)] ≥ (AC) * (BD).

Cette inégalité devient une égalité si, et seulement si (ABCD) est un quadrilatère cyclique.