Soit :
A, B, C, D = quatre points alignés réalisant une division harmonique.
Le quadrilatère (A’C’B’D’) dont les sommets sont les images réciproques par inversion sur le cercle (O) des quatre points (A, B, C,D).
Le quadrilatère (A’C’B’D’) est décrit comme étant harmonique et cyclique (inscriptible dans un cercle).
> (A’C’) * (B’D’) = (A’D’) * (C’B’) = 0.5 * [(A’B’) * (C’D’)]
La figure ci-dessus montre un des procédés géométriques permettant la construction d’une division harmonique d'un segment (AD) :
* - Soit (EF) une corde d’un cercle Θ(O, R = de centre O et rayon R) avec (O) n’appartenant pas à (EF).
* - Les deux tangentes au cercle (Θ) en (E et E) se coupent en (A).
* - On trace une droite quelconque (Δ) passant par le point (A) et coupant le cercle (Θ) en (B et D) et également coupant la corde (EF) en (C).
* - Les quatrepoints (A, B, C, D) résultant de cette construction divisent le segment (AD) en division harmonique [ABCD] = -1
° - Exemple de mesure de longueur (sur la figure ci-dessus) :
* - BA = -10.70.
* - BC = + 6.00.
* - DA = - 37.9.
* - DC = - 21.24.
* - BA/BC = - 1.78.
* - DA/DC = + 1.78.
* - (BA/BC) ÷ (DA/DC) = - 1
⇒ le birapport [ABCD] = -1 et la division de (AD) est harmonique.
La figure ci-dessus montre un des procédés géométriques permettant la construction d'un quadrilatère harmonique après avoir procédé à création d'une division harmonique du segment (AD) :
* - Comme le montre la figure ci-dessus, les quatre points (BEDF) sont cocycliques ; ils sont les sommets d'une quadrilatère :
1 - cyclique (inscriptible) et
2 - harmonique.
Dans ce quadrilatère les mesures effectuées montrent que :
BD × EF = (BE × FD) + (BF × ED) ⇒
19.62 x 17.30 = 7.94 × 21.37 + 11.35 × 14.95 = 339.4.
(Consulter : théorème de Ptolémée pour un quadrilatère cyclique "inscriptible").
Dans un quadrilatère harmonique :
° - (BE / DE) = (BF / DF) = 0.53 = 1 / 1.88 ⇒
° - BE × FD = BF × DE = 7.94 × 21.37 = 11.35 × 14.95 = 169.68.
° - BF / BE = FD / DE = −1.43 / 1.43 = −1 ⇒ le birapport [BEDF] est harmonique.
La figure ci-dessus montre un des procédés géométriques permettant la construction d'un division harmonique à partir d'un quadrilatère harmonique :
* - Soit (BEDF) est un quadrilatère quelconque harmonique (donc cyclique).
* - (S) point un point quelconque sur le cercle circonscrit au quadrilatère (BEDF).
* - Les quatre points (F’, B’, E’, D’) sont les images réciproques par inversion sur une droite quelconque (Δ') des quatre sommets du quadrilatère (BEDF).
° - Les quatre points (F’, B’, E’, D’) divisent le segment (F'D') en division harmonique :
(E'D' / E'B') ÷ (F'D'/F'B') = −1 ⇒
(-15.77/4.41) ÷ (-27.94/-7.76) = −1.
Le birapport [F'B'E'D'] = -1.
- Consulter également :
- Étude d'un triangle dont les trois côtés sont connus ; triangle orthique, cercle d'Euler
- Étude d'un triangle dont deux côtés et un angle sont connus
- Étude d'un triangle dont un côté et deux angles collatéraux sont connus
Images :
- Détermination du centre d'un cercle à l'aide du compas et de l'équerre.
- Le triangle orthique du triangle ABC, son orthocentre, le cercle d'Euler (le cercle circonscrit au triangle orthique), le triangle dont les sommets sont les pieds des médianes du triangle ABC, le centre de gravité du triangle ABC, le cercle circoncit et inscrit du triangle ABC, et enfin la droits d'Euler dans le triangle ABC et ses points remarquables.
- Le triangle orthique du triangle ABC, son orthocentre, le cercle d'Euler (le cercle circonscrit au triangle orthique) et enfin
la droits d'Euler dans le triangle ABC et ses points remarquables.
- Les bissectrices du triangle (ABC) dont leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans ce triangle
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MAJ : 10 Mars, 2025