Soit :
(A, B et D) trois points alignés sur le segment (AD).
Le procédé pour déterminer sur le segment (AD) un point (C) réalisant une division harmonique de ce segment (AD) :
- Placer sur le même plan et hors de (AD) un point (N).
- Tracer les deux droites (NA) et (NB).
- De (D) tracer une droite sécante (NB) en (E) et (NA) en (F).
- Tracer de (A) la droite (AE) et de (B) la droite (BF).
- De (N) tracer une droite passant par (S), le point de l’intersection (AE) et (BF) ; cette droite coupe le segment (AD) en (C).
Le point (C), avec (D) sont les deux conjugués harmoniques par rapport à (A) et (B) réalisant le birapport harmonique [ABCD].
La figure ci-dessus montre un des procédés de construction d'une division harmonique en utilisant une symédiane d'un triangle (ABC) et d'une tangente au cercle circonscrit à ce triangle :
- Soit (ABC) un triangle quelconque inscrit dans le cercle @ (O, R = centre O et rayon = R).
- (CS) est la symédiane du triangle (ABC) issue du son sommet (C).
- La tangente du cercle (@) en (C) coupe le côté (AB) du triangle (ABC) en (D).
-Dans ces conditions :
* - Les quatre points (D, A, S, B) divisent le segment (DB) en division harmonique.Les mesures effectuées sur la figure :
- AD = 39.41
- AS = -15.77
- BD = 91.72
- BS = 36.79
( AD/AS) = - 2.5 et (BD/BS) = 2.5
[(AD/AS) / (BD/BS) = -1] ⇒ le Birapport [A, B, S, D] = (-1) ⇒ cette division forme une division harmonique et (D et S) sont les conjugués harmoniques par rapport à (A et B).
° - Selon le théorème de Steiner appliqué à cette construction : (SA/SB) = (CA/CB)²
* - Les valeurs numériques de cette figure montrent :
° - CA = 35.61 et CB = 54.51 ⇒
° - (SA/SB) = (CA/CB)² ou (15.77/36.79) ≈ 0.43 et (35.32/54.44)² ≈ 0.43.
La figure ci-dessus montre un des procédés de construction d’une division harmonique en utilisant les bissectrices (interne et externe) d’un angle d’un triangle (ABC).
* - Soit (ABC) un triangle quelconque.
* - (AD) est la bissectrice interne de l’angle du sommet (BAC).
* - On trace de (A) la bissectrice externe de l’angle (BAC) ; cette bissectrice externe forme avec (AD) un angle rectangle et coupe le côté (BC) du triangle (ABC) en (E).
Le segment (ED) est obligatoirement le diamètre du cercle (O) circonscrit au triangle (DAE) rectangle en (A).
° - Dans ces conditions de construction géométrique :
* - Les quatre points (E, B, D, C) forment sur le segment (EC) en division harmonique.
* - Les points (B et C) sont les conjugués harmoniques par rapport à (D et E)
* - Les mesures effectuées sur cette figure :
BE = 69.91
BD = - 8.57
CE = 89.4
CD = 10.95
(BE / BD) ÷ (CE / CD) = - 8.16 ÷ 8.16 = - 1 ⇒ le Birapport [BCED) = -1 et par conséquent, la division par les points (E, B, D, C) est harmonique.
- Consulter également :
- Étude d'un triangle dont les trois côtés sont connus ; triangle orthique, cercle d'Euler
- Étude d'un triangle dont deux côtés et un angle sont connus
- Étude d'un triangle dont un côté et deux angles collatéraux sont connus
Images :
- Détermination du centre d'un cercle à l'aide du compas et de l'équerre.
- Le triangle orthique du triangle ABC, son orthocentre, le cercle d'Euler (le cercle circonscrit au triangle orthique), le triangle dont les sommets sont les pieds des médianes du triangle ABC, le centre de gravité du triangle ABC, le cercle circoncit et inscrit du triangle ABC, et enfin la droits d'Euler dans le triangle ABC et ses points remarquables.
- Le triangle orthique du triangle ABC, son orthocentre, le cercle d'Euler (le cercle circonscrit au triangle orthique) et enfin
la droits d'Euler dans le triangle ABC et ses points remarquables.
- Les bissectrices du triangle (ABC) dont leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans ce triangle
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MAJ : 13 Mars, 2025