Définition du quadrilatère tangentiel (ou circonscriptible) :

Il s'agit d'un quadrilatère convexe possédant un cercle inscrit (i) dans son intérieur, donc en contact ponctuel avec ses quatre côtés ; dans ses conditions, les quatre bissectrices angulaires de ce quadrilatère sont concourantes en un seul point qui est le centre du cercle inscrit (i).

Théorème de Newton pour un quadrilatère (ABCD) tangentiel :

(ABCD) = un quadrilatère tangentiel convexe régulier ou irrégulier.

(AC) et (BD) sont les deux diagonales de ce quadrilatère (ABCD).

Les quatre points (P, Q, R, S) sont les points de contact du cercle inscrit (i) avec respectivement les côtés (AB, BC, CD et AD) du quadrilatère (ABCD).

Selon le théorème de Newton pour un quadrilatère tangentiel :

Les diagonales (AB et BD) et les segments (PR et QS) sont concourants en un seul point (Y).

Théorème de Pitot (1725) :

Un quadrilatère (ABCD) est tangentiel si, et seulement si la somme des deux côtés opposés (AB et CD) est égale à la somme des deux autres côtés (BC et AD).

Cette théorème peut facilement être prouvé quand on sait que les bissectrices angulaires du quadrilatère (ABCD) sont concourantes en (i) qui est le centre du cercle inscrit dans (ABCD) ; dans ces conditions :

(AP = AS) et (BP = BQ).
(CR = CQ) et (DR = DS).

(AB = AP + BP) >> (AB = AS + BQ).
(CD = CR + DR) >> (CD = CQ + DS).

(AB + CD) = AS + BQ + CQ + DS = AS + DS + BQ + CQ = (AD + BC).