Le Triangle d'or est appelé également le "Triangle du pentagone". Les particularités de ce triangle isocèle c'est que son angle du sommet vaut (36°), il est égal à la moitié des deux angles de base qui valent chacun (72°). Cette particularité est utilisée autre fois pour construire le pentagone régulier convexe en suivant la procédure décrite dans la figure ci-dessus :

(ABC) = Triangle d’or typique (triangle isocèle dont l’angle (A) = 36° et les deux angles de la base (B) = (C) valent 72°.

* Tracer un cercle (Θ) dans lequel le pentagone recherché sera inscrit.
* Tracer dans le cercle (Θ) le côté (A'B') parallèle (\\) à (AB).
* Tracer dans le cercle (Θ) le côté (A'C') parallèle (//) à (AC).

Le triangle (A’B’C’) obtenu est inscrit dans le cercle (Θ), il est semblable au triangle (ABC). Ce sont deux Triangles d’or semblables et non isométriques sauf si le rayon du cercle dans lequel le triangle (ABC) est inscrit équivaut au rayon du cercle (Θ).

* Le segment (B'E') : du sommet (B') tracer la bissectrice de l’angle (A'B’C') qui croise le cercle (Θ) en (E').
* Le segment (C'F') : du sommet (C') tracer la bissectrice de l’angle (A'C’B') qui croise le cercle (Θ) en (F').

Les cinq points cocycliques (A'), (F'), (B'), (C') et (E') résultant de cette construction sont les sommets du pentagone régulier (A’F’B’C’E’) ; il est semblable au pentagone (AFBCE).

Ces deux pentagones [(A’F’B’C’E’) et (AFBCE)] ne sont pas isométriques sauf si le rayon du cercle dans lequel le triangle (ABC) est inscrit équivaut au rayon du cercle (Θ).

Étude métrique du pentagone étoilé régulier (Pentagramme = étoile régulier à cinq branches) :

* Constantes :
Les deux constantes pouvant être mises en évidence dans le pentagone étoilé régulier sont :
   - ►Le Nombre d'or (Φ) = [√(5) + 1)] / (2) = 1.61803398874989.
   - ►La constante Ω = [√(Φ² + 1)] = [√(Φ+ 2)] = 1.90211303259032.
   - ►La constante Φ = [√(Ω² - 1)] = 1.61803398874989.

Les cinq Triangles d'or principaux :

* Le pentagone étoilé régulier est composé de l'intersection entre cinq Triangles d'or, isocèles semblables, isométriques et isogoniques, il s'agit des triangles : (P3P1P4), (P4P2P5), (P1P3P5), (P1P4P2) et (P2P5P3).
Ces cinq triangles sont inscrit dans le cercle dont le centre est (O) et le rayon est (R).

* Les côtés latéraux (P1P3) = (P1P4) = (P2P4) = (P2P5) = (P3P5) =
= [2 * √(Φ² + 1)] * (R/2) = 3.80422606518061 * (R/2).

Les côtés latéraux = (P1P3) = (P1P4) = (P2P4) = (P2P5) = (P3P5) = R * √(Φ² + 1) = (R * Ω) = R * 1.9021130325903.

* Les bases (P1P2) = (P2P3) = (P3P4) = (P4P5) = (P5P1) =
= {(2 * [√(Φ² + 1)] / Φ} * (R/2) = [2 * √(3 - Φ)] * (R/2) = 2.35114100916989 * (R/2).

Les bases = (P1P2) = (P2P3) = (P3P4) = (P4P5) = (P5P1) = {R * [√(Φ² + 1) / Φ]} = [R * √(3 - Φ)] = R * Ω / Φ = R * 1.17557050458495.

* Rapport : le côté latéral des Triangles d'or isocèles / base des Triangles d'or =
= [(Ω) / ( Ω / Φ)] = 1.9021130325903 / 1.17557050458495 = 1.61803398874989 = Φ.

* L'angle du sommet des Triangles d'or = (36°) et les deux angles de la base de ces mêmes triangles valent chacun (72°).

* Les hauteurs des Triangles d'or issue des sommets (P1, P2, P3, P4 ou P5) sur respectivement (P3P4), (P4P5), (P1P5), (P1P2) ou (P2P3) =
= [(R/2) * Ω²] = [(R/2) * (Φ² + 1)] = 3.61803398874994 * (R/2) = [R * (Ω² / 2)] = {R * [(Φ² + 1) / 2]} = 1.80901699437497 * (R).

Aire de chaque des Triangle d'or (P3P1P4), (P4P2P5), (P1P3P5), (P1P4P2) et (P2P5P3) vaut :
= R² * [Ω³ / (4 * Φ)] = 1.06331351044007 * R².

Rapport : Aire du cercle dans lequel est le pentagone est inscrit / Aire d'un Triange d'or type (P3P1P4) =
= (4 * π * Φ) / Ω³) = 2.95453092878467.

Les cinq Triangles d'or secondaires périphériques :

* Les intersections entre les côtés isocèles des cinq Triangles d'or font apparaître cinq triangles secondaires périphériques qui sont :
(EP1F), (FP2G), (GP3H), (HP4I) et (IP5E) ; il s'agit de triangles isocèles semblables, isométriques, isogoniques et également semblables aux Triangles d'or sans qu'ils soient isométriques à ces derniers.

* Les côtés latéraux (P1E), (P1F), (P2F), (P2G), (P3G), (P3H), (P4H), (P4I), (P5I) et (P5E) de ces cinq triangles isocèles secondaires périphériques valent
= {(2 * [√(Φ² + 1)] / Φ²} * (R/2) = 1.45308505601073 * (R/2).

Les côtés latéraux (P1E), (P1F), (P2F), (P2G), (P3G), (P3H), (P4H), (P4I), (P5I) et (P5E) =
= {(R * [√(Φ² + 1)] / Φ²} = [(R * Ω] / Φ²] = R * 0.726542528005367.

* Les bases (EF), (FG), (GH), (HI) et (IG) de ces cinq triangles isocèles secondaires périphériques valent =
= {[2 *√(Φ² + 1)] / Φ³} * (R/2) = 0.898055953159171 * (R/2).

Les bases (EF), (FG), (GH), (HI) et (IG) = {R *[√(Φ² + 1)] / Φ³} = [(R * Ω) / Φ³] = R * 0.449027976579585.

* Rapport : les côtés des triangles secondaires isocèles / base de ces mêmes triangles =
= [(Ω) / Φ²) / (Ω / Φ³)] = 0.726542528005367 / 0.449027976579585 = 1.61803398874989 = Φ.

⇒ Donc les triangles (EP1F), (FP2G), (GP3H), (HP4I) et (IP5E) sont Triangles d'or.

Dans les Triangles d'or et isocèles (EP1F), (FP2G), (GP3H), (HP4I) et (IP5E), la hauteur issue du sommet vers la base vaut :
Hauteur = {R * Ω * [√(4*Φ + 3)]} / (2 * Φ³) = [R * (Ω² / 2 * Φ²)] = 0.690983005625053 * R.
Remarque : [√(4*Φ + 3)] = Φ * Ω = 3.07768353717525.

Rapport hauteurs : Hauteur du Triangle d'or (P3P1P4) / Hauteur du Triangle d'or (EP1F) = (Φ²).

Aire de chacun des Triangles d'or (EP1F), (FP2G), (GP3H), (HP4I) et (IP5E) =
= {R² * Ω² * [√(4*Φ + 3)]} / (4 * Φ⁶) = R² * [(Ω³) / (4 * Φ⁵)] = 0.155135350433349 * R²

Rapport des aires : Aire du Triangle d'or (P3P1P4) / Hauteur du Triangle d'or (EP1F) = (Φ⁴).

Les cinq Triangles d'or secondaires centraux :

* Des intersections entre les côtés isocèles des cinq Triangles d'or résultent cinq triangles triangles secondaires centraux isocèles, semblables et isométriques : (P1IP3), (P1GP4), (P2HP4), (P2EP4) et (P3FP5).
* L'angle de somment de ces triangles vaut (108°) et les deux angles latéraux de chaque base valent chacun (36°).

Les côtés latéraux (P1G), (P1I), (P2E), (P2H), (P3F), (P3I), (P4G), (P4E), (P5F) et (P5H) de ces cinq triangles isocèles secondaires centraux valent =
= {(2 * [√(Φ² + 1)] / Φ} * (R/2) = [2 * √(3 - Φ)] * (R/2) = 2.35114100916989 * (R/2)

(P1G), (P1I), (P2E), (P2H), (P3F), (P3I), (P4G), (P4E), (P5F) et (P5H) = {R * [√(Φ² + 1) / Φ]} = [(R * Ω) / Φ] = R * 1.17557050458495.
⇒ donc les côtés latéraux de ces triangles centraux sont équivaux aux bases des Triangles d'or.

Les bases de ces triangle (P1P3) = (P1P4) = (P2P4) = (P2P5) = (P3P5) =
= [2 * √(Φ² + 1)] * (R/2) = 3.80422606518061 * (R/2) = R * √(Φ² + 1) = (R * Ω) = R * 1.9021130325903.

* Rapport : le côté des triangles secondaires centraux isocèles / base de ces mêmes triangles =
= [Ω / [(Ω / Φ)] = 1.9021130325903 / 1.17557050458495 = 1.61803398874989 = Φ.

⇒ Donc les triangles (P1IP3), (P1GP4), (P2HP4), (P2EP4) et (P3FP5) sont également des Triangles d'or, mais non semblables au triangles d'or prédominants : (P3P1P4), (P4P2P5), (P1P3P5), (P1P4P2) et (P2P5P3).

Le triangle P3OP4 permettant de calculer l'aire du pentagone régulier convexe (P1P2P3P4P5) :

Il s'agit d'un triangle isocèle dont le côté latéral est égal à (R), c'est-à-dire le rayon du cercle (E1E2E3E4E5).
La base de ce triangle est égale au côté du pentagone régulier convexe (E1E2E3E4E5).
L'angle du sommet de ce triangle est égal à (72°) et chaque angle latéral dela base vaut (54°)

Apothème du pentagone régulier convexe = (E1E2E3E4E5) = Hauteur du triangle (P3OP4 ) =
R * [(Ω² / 2) - 1] = R * (Φ /2) = 0.809016994374947 * R.

Aire du triangle P3OP4 = R² * (Ω / 4) = 0.475528258147577 * R².

Rapport : Longueur de la base du triangle (P3OP4) / Longueur du côté latéral du triangle (P3OP4) ou (R) =
= Ω / Φ = 1.17557050458495.

Rapport des aires : Aire du Triangle d'or (P3P1P4) / Aire du triangle (P3OP4) = √(5) = [2 * Φ - 1).

Le triangle (P1GP4) et autres triangles intéressants :

Hauteur du Triangle d'or (P1GP4) = R * Ω [ √(1/Φ² - 1/4)] = R * Ω [ √(7/4 - Φ)] = [R * (Ω² / 2 * Φ²)] = 0.690983005625053 * R.

⇒ La hauteur du Triangle d'or (P1GP4) = La hauteur du Triangle d'or (EP5I).

Aire de du Triangle d'or (P1GP4) et chacun des Triangles d'or (P1IP3), (P2HP4), (P2EP4) et (P3FP5) =
= R² * [(Ω³) / (4 * Φ²)] = 0.657163890148898 * R².

Rapport des aires : Aire du Triangle d'or (P3P1P4) / Aire du Triangle (P1GP4) = 1.06331351044007 / 0.657163890148898 = Φ.

Aire du triangle (P3GP4) = R² * [(Ω³)/4*Φ] * (1 - 1/Φ)] = R² * [(Ω³)/4*Φ] * (2 - Φ) = 0.406149620291133 * R².

Rapport des aires : Aire du Triangle d'or (P1GP4) / Aire du Triangle (P3GP4) = 0.657163890148898 / 0.406149620291133 = Φ.

Rapport des aires : Aire du Triangle d'or (P3P1P4) / Aire du Triangle (P3GP4) = 1.06331351044007 / 0.406149620291133 = Φ².

Aire de du Triangle d'or (P3HP4) = R² * [(Ω³) / (4 * Φ⁴)] = 0.251014269857845 * R².

Huteur du triangle (P3HP4) = R * [(Ω²) / (2 * Φ³)] = R * [(3 - Φ) / (2*Φ)] = 0.427050983124842 * R.

Rapport des aires : Aire du Triangle d'or (P3GP4) / Aire du Triangle (P3HP4) = 0.406149620291133 / 0.251014269857845 = Φ.

Rapport des aires : Aire du Triangle d'or (P1GP4) / Aire du Triangle (P3HP4) =0.657163890148898 / 0.251014269857845 = Φ².

Rapport des aires : Aire du Triangle d'or (P3P1P4) / Aire du Triangle (P3HP4) = 1.06331351044007 / 0.251014269857845 = Φ³.

Les pentagones réguliers : convexe et étoilé (E1E2E3E4E5) :

Aire du pentagone régulier convexe (E1E2E3E4E5) = Aire du triangle P3OP4 * 5 = R² * (5 * Ω / 4) = 2.37764129073788 * R².

Apothème du pentagone régulier convexe (EFGHI) = R / 2 * Φ = 0.309016994374947 * R.

Côté du pentagone régulier convexe (EFGHI) = {R *[√(Φ² + 1)] / Φ³} = [(R * Ω) / Φ³] = R * 0.449027976579585.

Rayon du cercle circonscrit au pentagone (EFGHI) = (R / Φ²) = 0.381966011250105 * R.

Aire du triangle (EOF) = R² * [(Ω / (4 * Φ⁴)] = 0.069378637856443 * R².

Aire du pentagone régulier convexe (EFGHI) = Aire du triangle (EOF) * 5 = R² * [(5 * Ω / (4 * Φ⁴)] = 0.346893189282215 * R².

Rapport des aires des pentagones :
Aire du pentagone régulier convexe (E1E2E3E4E5) / Aire du pentagone régulier convexe (EFGHI) = Φ⁴.

Aire du pentagone étoilé régulier (E1E2E3E4E5) = R² * [(5 * Ω / (2 * Φ³)] = R² * [(2.5 * Ω * (2*Φ - 3)] = 1.12256994144896 * R² =
5 * tan(π/5) * sin(π/10) * R² = 5 * tan(36°) * sin (18°) * R² = (5 * 0.72654252800536 * 0.309016994374947 *R²= 1.12256994144896 * R².

Rapport des aires du pentagone convexe et du pentagone régulier étoilé inscrits dans le même cercle :
Aire du pentagone régulier convexe / Aire du pentagone régulier étoilé = {[√(5) +2] / 2} = (Φ³ / 2) =
= 2.37764129073788 / 1.12256994144896 = 2.11803398874989.

Rapport de l'aire du disque dans lequel est inscrit le pentagone régulier convexe (E1E2E3E4E5) / l'aire de ce même pentagone =
= (4*π / 5 * Ω) = 1.32130639967765 ⇒ Le pentagone régulier convexe occupe (75.6826728640657 %) de l'aire du disque dans lequel est inscrit.

Rapport de l'aire du disque dans lequel est inscrit le pentagone régulier étoilé (E1E2E3E4E5) / l'aire de ce même pentagone =
= (2*π * Φ³) / (5 * Ω) = 2.79857186407001 ⇒ Le pentagone régulier étoilé occupe (35.7325110295965 %) de l'aire du disque dans lequel est inscrit.

Aire du disque (E1E2E3E4E5) inoccupée par le pentagone régulier convexe ((E1E2E3E4E5) = R² * [π - (5 * Ω) / 4] =
= 0.763951362851906 * R².

Aire du disque (E1E2E3E4E5) inoccupée par le pentagone régulier étoilé ((E1E2E3E4E5) = R² * [π - (5 * Ω) / 2 * Φ³] =
= 2.01902271214083 * R².