Soit :
° - (ABC) un triangle équilatéral.
° - (N) et (N’) = deux points quelconques à l’intérieur du triangle (ABC).
° - (ND, NF, NE) et (N’D’, N’F’, N’E’) sont respectivement les projetées orthogonales de (N) et (N’) sur les côtés (AB, AC et BC).
° - (AH) est la hauteur de triangle (ABC) ; elle vaut (côté du triangle ABC * (√3 / 2).

Selon le théorème de Viviani :

* - La somme de (ND, NF, NE) ou de (N’D’, N’F’, N’E’) ou de n’importe quel point à l'intérieur du triangle équilatéral (ABC) est constante.

* - Cette valeur constante est égale à la hauteur (AH) du triangle équilatéral (ABC) = [(AB) * (√3 / 2)] ≈ (AB) * 0.86603.

* - Sur cette figure : ND + NF + NE = N’D’ + N’F’ + N’E’ = (AB) * (√(3) / 2.

Preuve I :

CH = la hauteur du triangle (ABC)
ND = la hauteur du triangle (ANB) = la projetée de (N) sur (AB).
NF = la hauteur du triangle (ANC) = la projetée de (N) sur (AC).
NE = la hauteur du triangle (BNC) = la projetée de (N) sur (BC).

Aire du triangle (ABC) = 0.5 (AB × CH).
Aire du triangle (ANB) = 0.5 (AB × ND).
Aire du triangle (ANC) = 0.5 (AC × NF).
Aire du triangle (BNC) = 0.5 (BC × NE).

Aire du triangle (ABC) = Aire du triangle (ANB) + Aire du triangle (ANC) + Aire du triangle (BNC) ⇒
0.5 (AB × CH) = 0.5 (AB × ND) + 0.5 (AC × NF) + 0.5 (BC × NE) ⇒
(AB × CH) = (AB × ND) + (AC × NF) + (BC × NE). Sachant que dans un triangle équilatéral (AB = AC = BC) ⇒
(AB × CH) = AB × (ND + NF + NE)
⇒
CH = ND + NF + NE.

Preuve II :

Aire du triangle (ANB) = 0.5 × AB × AN × sin(A1).
Aire du triangle (ANC) = 0.5 × AC × CN × sin(C1).
Aire du triangle (BNC) = 0.5 × BC × BN × sin(B2).

Aire du triangle (ABC) = 0.5 × AB × AC × sin(60°) = 0.5 × AB² × √(3)/2.
Aire du triangle (ABC) = Aire du triangle (ANB) + Aire du triangle (ANC) + Aire du triangle (BNC).
Aire du triangle (ABC) = 0.5 × AB × AN × sin(A1) + 0.5 × AC × CN × sin(C1) +0.5 × BC × BN × sin(B2).

Dans un triangle (ABC) équilatéral : AB = AC = BC = Ω.
⇒
Aire du triangle (ABC) = 0.5 × AB × AC × sin(60°) = 0.5 × Ω² × √(3)/2
0.5 × Ω² × √(3)/2 = 0.5 × Ω × AN × sin(A1) + 0.5 × Ω × CN × sin(C1) + 0.5 × Ω × BN × sin(B2).
Par réduction :
Ω² × √(3)/2 = Ω × AN × sin(A1) + Ω × CN × sin(C1) + Ω × BN × sin(B2).
Ω × √(3)/2 = AN × sin(A1) + CN × sin(C1) + BN × sin(B2).
Dans cette équation :
Ω × √(3)/2 = hauteur du triangle (ABC) = CH.
AN × sin(A1) = hauteur du triangle (ANB) = ND.
CN × sin(C1) = hauteur du triangle (ANC) = NF.
BN × sin(B2) = hauteur du triangle (BNC) = NE.
⇒
CH = ND + NF + NE.

Les relations algébriques déterminant les liens entre l'ensemble des éléments géométriques de la figure ci-dessus :

ND = √[0.5 (AN² + BN² + 2×AD×BD - AB²)].
NF = √[0.5 (AN² + CN² + 2×AF×CF - AC²)].
NE = √[0.5 (BN² + CN² + 2×BE×CE - BC²)].

ND + NF + NE =
= √[0.5 (AN² + BN² + 2×AD×BD - AB²)] + √[0.5 (AN² + CN² + 2×AF×CF - AC²)] + √[0.5 (BN² + CN² + 2×BE×CE - BC²)].

(AB) = Ω = Longueur du côté du triangle équilatéral (ABC) =
(AB) = Ω = √{2/3 [(AN² + BN² + CN² + AD×BD + AF×CF + BE×CE - (ND² + NF² + NE²)]} = (CH × 2 / √3).

Également :
(AB) = Ω = √{[2/ √3] × [AN × BN × sin(N1) + AN × CN × sin(N2) + BN × CN × sin(N3)]}.

Dans un triangle (ABC) équilatéral la valeur de :

[AN × BN × sin(N1) + AN × CN × sin(N2) + BN × CN × sin(N3)] est constante quoique se soit la position du point (N) à l'intérieur du ce triangle.

* Dans cet article, cette constante est symbolisée par la lettre grecque (Δ) et la longueur du côté du triangle équilatéral (ABC) par Ω :

Δ = [AN × BN × sin(N1) + AN × CN × sin(N2) + BN × CN × sin(N3)].

Δ = 2 * aire du triangle équilatéral (ABC) = Ω² × √(3) / 2.

Aire du triangle équilatéral (ABC) = Δ / 2 = Ω² × √(3) / 4.

Δ = Ω² × √(3) / 2 = Ω² × sin(60)°.

Ω = √{[2/√(3)] × Δ} = √{[1/sin(60°)] × Δ} = √{Δ / [sin(60°)]}.

CH = hauteur du triangle équilatéral (ABC) = √[Δ × √(3) / 2] = √[Δ × sin(60°)].

sin(60°) = Δ / Ω².