- Soit (∆-ABC) un triangle quelconque.
- (AD) et (BE) sont respectivement les bissectrices des angles (A) et (B) du triangle (∆-ABC).

Selon le théorème (Steiner-Lehmus) :

Les segments (AE) et (BD) sont égaux en longueur si, et seulement si le triangle (∆-ABC) est isocèle.

Sur la figure ci-dessus le triangle (∆-ABC) est isocèle, donc (AE) = (BD), par contre le triangle (∆-ABC’) ne l’est pas, par conséquent, les segments (AE’) et (BD’) ne sont pas égaux.

* - Trigonométrie :

Dans le triangle (∆-ABC') :
° - Le segment (AE') = (AB) / √{1 + [sin(BAE') / sin(ABE')] *{[sin(BAE') / sin(ABE')] - 2cos(AE'B)}}.

° - Le segment (BD') = (AB) / √{1 + [sin(ABD' / sin(BAD')] *{[sin(ABD' / sin(BAD'] - 2cos(AD'B)}}.

Si le triangle (∆-ABC') est isocèle, alors les angles (BAD') et (ABE') sont égaux alors obligatoirement les angles (AE'B) et (AD'B) sont égaux ; dans ces conditions :

° - Le segment (AE') = (AB) / √{1 + [1 - 2cos(AE'B)]} = (AB) / √{2 × [1 - cos(AE'B)]}.

° - Le segment (BD') = (AB) / √{2 × [1 - 2cos(AD'B)]} ⇒

(AE') = (BD') parce que les (AE'B) et (AD'B) sont égaux comme c'est le cas dans le triangle isocèle (∆-ABC) où les angles (BAE) et (ABD) sont égaux, ainsi les angles (AEB) et (ADB) qui sont également égaux.

* - Généralités trigonométriques dans le triangle isocèle :

Soient :
* - (∆-ABC) un triangle isocèle dont le sommet est le point (C) et la base est (AB).
* - (σ) = (C) = l'angle du sommet d'un triangle (∆-ABC).
* - (λ) = (A) = (B) = l'angle latéral d'un triangle(∆-ABC).
* - (β) = (AB) = la base du triangle(∆-ABC).
* - (γ) = (AC) = (BC) = le côté latéral du triangle (∆-ABC).

° - Cosinus de l'angle du sommet = cos(σ) = 1 − 0.5 × (β/γ)².
° - Sinus de l'angle du sommet = sin(σ) = √[ (β/γ)² − 0.25 * (β/γ)⁴] = (β/γ) × √[ 1 − 0.25 × (β/γ)²].
° - Sinus de l'angle du sommet = sin(σ) = 2 × sin(λ) × cos(λ).

° - Cosinus de la moitié de l'angle du sommet (C) = cos(σ/2) = 0.25 × √[4 − (β/γ)²] = √[ 1 − 0.25 × (β/γ)²].
° - Sinus de la moitié de l'angle du sommet (C) = sin(σ/2) = 0.5 × (β/γ).
° - Tangente de la moitié de l'angle du sommet (C) = tan(σ/2) = β / {√[4 × γ² − β²].

° - Cosinus de l'angle latéral = cos(λ) = (β / 2γ).
° - Sinus de l'angle latéral = sin(λ) = √[1 − (β / 2γ)²].
° - Tangente de l'angle latéral = tan(λ) = √[ (2γ / β)² − 1].

° - Cosinus de la moitié de l'angle latéral (A et B ) = cos(λ/2) = 0.5 × √[2 + (β/γ)].
° - Sinus de la moitié de l'angle latéral (A et B ) = sin(λ/2) = 0.5 × √[2 − (β/γ)].
° - Tangente de la moitié de l'angle latéral (A et B) = tan(λ/2) = (√[(2γ − β) / (2γ + β)].

° - cos(σ) / cos(σ/2) = (2γ² − β²) / γ × √(4γ² − β²).
° - sin(σ) / sin(σ/2) = √[(4 − (β/γ)²].

° - cos(λ) / cos(λ/2) = β / [√(2γ² + γβ)].
° - sin(λ) / sin(λ/2) = √[(2 + (β/γ)].

° - Hc = Hauteur issue du sommet (C) = γ × sin(λ) = γ × [√[1 - (β / 2γ)²] = [√(γ² − 0.25 × β²)].
° - Ha = Hb = Hauteur issue du sommet (A) et du sommet (B) = β × sin(λ) = β × [√[1 − (β / 2γ)²].
° - Hc / Ha = γ / β ⇒ β × Hc = γ × Ha.

° - Aire du triangle isocèle (∆-ABC) = 0.5 × [√[(βγ)² − 0.25 × β⁴] = 0.5 × β × [√(γ²− 0.25 × β²)] = 0.5 × β² × [√[(γ / β)²− 0.25].
° - Aire du triangle isocèle (∆-ABC) = 0.25 × β² × √[(2γ / β)² - 1] = 0.25 × β²× √{[1/cos(λ)]² - 1}.
° - Aire du triangle isocèle (∆-ABC) = 0.25 × β²× [sin(λ) / cos(λ)] = 0.25 × β²× tan(λ).