La la méthode de coupage d'un triangle équilatéral en quatre morceau décrite par Dudeney :

« Divisez AB en deux en D et BC en E ; tracez la ligne AE jusqu'à F en faisant EF égal à EB ; divisez AF en deux en G et décrivez l'arc HAF ; tracez EB jusqu'à H, et EH est la longueur du côté du carré cherché ; de E avec la distance EH, tracez l'arc HG, et faites JK égal à BE ; maintenant, des points D et K abaissez des perpendiculaires sur EJ en L et M. Si vous avez fait cela avec soin vous avez maintenant les directions cherchées pour les coupes ».
Sources : Sous la direction de Évelyne Barbin. " Les constructions mathématiques avec des instruments et des gestes ". ellipses 2014 - P-82:83.

La même procédure a été utilisée dans cet article pour tracer le découpage en quatre fragments d'un triangle équilatéral (ABC) pour ensuite, construire, avec ces fragments un carré de même aire que le triangle (ABC) :

(D) = milieu du côté (AB)
(E) = milieu du côté (BC)

1 - Étendre (AE) vers (F) avec (EF) = (BE)
2 - G = milieu de (AF)
3 - Tracer un cercle (G) dont le centre est (G) et le diamètre (AF)

(H) = point d’intersection de l’allongement de (BE) avec le cercle (G)

(EH) = la longueur du côté du carré recherché

4 - (J) = point d’intersection du côté (AC) et le cercle du centre (E) et de rayon = (EH)

5 - (K) = point d’intersection du côté (AC) et le cercle de rayon égal à (BE) et de centre (J)

6 - Tracer le segment (EJ)
7 - Tracer le segment (DL) issu de (D) et perpendiculaire à (EJ)
8 - Tracer le segment (KM) issu de (K) et perpendiculaire à (EJ)

Les quatre fragments résultants de ce découpage du triangle (ABC) peuvent former, par un nouveau groupement, un carré parfait dont l'aire est égale à celle du triange équilatéral (ABC).

Formules permettant de d'établir les caractérisques métriques de ce découpage :

* - Si (τ) est la longueur du côté du triangle équilatéral, alors
* - (μ) = Longueur du côté du carré = (τ) * 0.5 * (3)^0.25
* - (τ) = Longueur du côté du triangle équilatéral = 2 * (μ) * (1/3)^0.25
* - (Sτ) = Aire du triangle équilatéral = (τ)² * 0.25 * (3)^0.5 = (μ)²
* - (EJ) = (EH) = (μ)

Méthode simplifiée de découpage d'un triangle équilatéral (ABC) en quatre fragments pouvant être réutilisés pour constituer un carré de même aire que le triangle (ABC) :

*- (D) = le milieu du côté (AB).
*- (E) = le milieu du côté (BC).

*- (DJ) = la perpendiclaire issue de (D) sur le côté (AC).
*- (EK) = la perpendiclaire issue de (E) sur le côté (AC).

*- (DL) = la perpendiclaire issue de (D) sur le segment (EJ).
*- (KM) = la perpendiclaire issu e de (K) sur le segment (EJ).

*- Les quatre segments (DL), (JM), (KM) et (EM) résultant de ce traçage découpent le triangle (ABC) en quatre fragments pouvant être regroupés en carré de même aire que le triangle équilatéral (ABC).

*- Les formules permettant l'analyse métrique des différents segments du découpage du triangle (ABC) selon cette méthode simplifiée :

*- (τ) est la longueur du côté du triangle équilatéral
*- (Sτ) = Aire du triangle équilatéral (ABC)
*- (Q) = le carré résultant de l'assemblage des quatre segments du découpage du triangle (ABC).
*- (μ) = La longueur du côté du carré (Q)

* - Le côté (μ) dans cette méthode simplifié de découpage est = {[(7)^0.5 / (2 * (3)^0.5 ] * (µ') de la méthode classique de Dudeney} = (µ') * [(2.64575131106459 / 2.63214802590498)] = [(µ') * 1.0052].
Cela signifie que l'approximation est de l'ordre (10)^-3 donc la différence de découpage par la méthode classique de Dudeney et par la présente méthode simplifiée est impercebtible et non significative.

*- Le segment (EJ) = (μ)
*- Le segment (EJ) = (μ) = (τ) * [ (7)^0.5 / 4] = (τ) * 0.661437827766148
*- Aire du carré (Q) = (μ)² = (τ)² * [ (7 / 16]
*- Le segment (CJ) = (τ) * [3 / 4]
*- Le segment (CE) = (τ) * [1 / 2]
*- Le segment (CK) = (AJ) = (τ) * [1 / 4]
*- Le segment (DJ) = (EK) = (τ) * [(3)^0.5 / 4] = (τ) * 0.433012701892219

*- cos(CJE) = 2 / (7)^0.5 = 0.755928946018454
* Angle (CJE) = (40.8933946491309)° = (0.713724378944765) radian

*- Le segment (JM) = [(τ) / (7)^0.5] = (τ) * 0.377964473009227
*- Le segment (EM) = [(τ) * (7)^0.5 * (3/28)] = {(τ * 3) / [4 * (7)^0.5 ]} = (τ) * 0.28347335475692
*- Le segment (JL) = [(τ) * (3/4) * (1 / 7)^0.5 ] = (τ) * 0.28347335475692
*- Le segment (KM) = [(τ) * 0.5 * (3 / 7)^0.5 ] = (τ) * 0.327326835353989
*- Le segment (DL) = [(τ) * 0.5 * (3 / 7)^0.5 ] = (τ) * 0.327326835353989
*- Le segment (EL) = [(τ) / (7)^0.5] = (τ) * 0.377964473009227