Définitions :
*Lunule : N.F - C'est une surface concave-convexe délimitée par deux arcs de cercles à la façon d'un croissant de lune.
*Lunule : figure plane en forme de croissant, « limitée par deux arcs de cercle qui ont leurs convexités du même côté et qui se terminent aux mêmes points » (Poiré). (Le Grand Robert).
* Secteur circulaire : NM - C'est la partie d'un disque délimitée par deux rayons de cercle et un arc de cercle.
* Segment circulaire : est une partie d'un cercle située entre une corde droite sécante et un arc circulaire d'un secteur circulaire.
*
Corde : N.F - C'est un segment de droite dont les extrémités se trouvent sur le cercle.
* Arc : N.M - C'est une portion de cercle délimitée par deux points.
* Flèche : N.F - C'est le segment reliant le milieu d'un arc de cercle au milieu d'une corde définis par deux mêmes points du cercle.
* Rayon : N.M - En Géométrie : un segment de valeur constante joignant le centre d'un cercle ou d'une sphère à un point quelconque de ceux-ci ; la longueur d'un rayon d'un cercle ou d'une sphère est égal à la moitié du diamètre de ceux-ci.
* Diamètre : N.M - Est une corde d'un cercle ou d'une sphère passant par le centre de ceux-ci et les divisant en deux parties égales.
* Secteur circulaire : NM - Le secteur en géométrie est une surface limitée généralement par deux rayons et un arc de courbe.
Le secteur circulaire est une portion de plan limitée par un arc de cercle et deux rayons aboutissant au centre du cercle.
* Segment circulaire : est une partie d'un disque circulaire située entre une corde et l'arc de cercle correspondant.
* Angle d'un secteur circulaire : un angle au centre d'un secteur circulaire formé par deux rayons du cercle.
Lunules d'Hippocrate de Chios pour un triangle rectangle :
Consulter également les lunules d'Hippocrate pour un carré
* Soit
(ABC) un triangle rectangle en C ;
(O1 ) = le cercle dont le rayon (R1) est le cercle circonscrit au triangle (ABC) ; son diamètre est (AB) et son centre O1 est au milieu de ce côté.
(O2) = le cercle dont le rayon (R2) et le diamètre est le côté (AC) du triangle (ABC).
(O3) = le cercle dont le rayon (R3) et le diamètre est le côté (BC) du triangle (ABC).
L1 = la lunule d'Hippocrate située à l'extérieur du segment circulaire (AC = S2) du cercle (O1) et limité par l'arc circulaire extérieur du cercle (O2).
L2 = la lunule d'Hippocrate située à l'extérieur du segment circulaire (BC = S3) du cercle (O1) et limité par l'arc circulaire extérieur du cercle (O3).
*- Selon Hippocrate de Chios :
Aire de la lunule (L1) + Aire de la lunule (L2) = Aire du triangle rectangle (ABC).
*- Formules permettant de prouver cette proposition géométrique d'Hippocrate :
En utilisant le théorème des cosinus d'Al Kashi (1390 - 1450) on peut déterminer la valeur de l'angle (Z1) du secteur circulaire (AO1C) et l'angle (Z2) du secteur circulaire (BO1C) dans la figure (1) :
Cos(Z1) = [(R1)² - 2 * (R2)²] / [(R1)²]
Cos(Z2) = [(R1)² - 2 * (R3)²] / [(R1)²]
Z1 = Acos(Z1) ; Z2 = Acos(Z2)
Un tour de cercle = 360° degrés =
6.28318530717959 RAD ; (1) Le RAD = (57.2957795130823) degrés ; (180)° = 3.14159265358979 RAD (valeur de π).
Formule générale :
Cosinus de l'angle d'un secteur circulaire =
[2 * (rayon d'un secteur circulaire)² - (longueur de la corde du secteur circulaire)²] /
[ 2 * (rayon du secteur circulaire)²].
Aire d'un triangle circulaire :
Aire du triangle d'un secteur circulaire = 0.5 * (Rayon du secteur circulaire)² * Sinus de
l'angle du secteur circulaire.
Sur la figure (1) :
Aire du triangle du secteur circulaire T2 = 0.5 * (R)² * Sin(Z1)
Aire du triangle du secteur circulaire T3 = 0.5 * (R)² * Sin(Z2)
Aire d'un secteur circulaire :
Aire du secteur circulaire =
[Angle d'un secteur circulaire (en degrés) / 360] * Aire du cercle
Aire du secteur circulaire =
[Angle d'un secteur circulaire (en degrés) / 360] * [π * (R)²]
Aire du secteur circulaire =
[Angle d'un secteur circulaire (en rads) / 2 * PI] * [π * (R)²] =
Aire du secteur circulaire =
[Angle d'un secteur circulaire (en rads) * 0.5 * (R)²]
Sur la figure (1) :
Aire du secteur circulaire (AO1C) =[ 0.5 * (R1)² * Z1]
Aire du secteur circulaire (BO1C) = [0.5 * (R1)² * Z2]
Z1 et Z2 en RAD
Aire d'un segment circulaire d'un secteur circulaire :
Aire du segment circulaire d'un secteur circulaire = Aire du secteur circulaire - Aire du triangle du secteur circulaire
Aire du segment circulaire d'un secteur circulaire = [Angle d'un secteur circulaire (en rads) * 0.5 * (R)²] - [0.5 * (R)² * Sin(Z1)]
Sur la figure (1)
Aire du segment circulaire d'un secteur circulaire (S2) = 0.5 * angle (Z1) en RAD . (R1)² - 0.5 * (R1)² * Sin(Z1) =
(S2)
= 0.5 * (R1)² * [angle (Z1) - Sin(Z1)]
(S3)
= 0.5 * (R1)² * [angle (Z2) - Sin(Z2)]
Z1 et Z2 en RAD
Aire d'une lunule d'Hippocrate :
L1 = Aire de la lunule (1) d'Hippocrate = 0.5 * {
π * (R2)² - (R1)² * [Z1 - sin(Z1/)]}
L2 = Aire de la lunule (2) d'Hippocrate = 0.5 * {
π * (R3)² - (R1)² * [Z2 - sin(Z2)]}
Z1 et Z2 (en RADs)
Corde d'un secteur circulaire :
Longueur de la corde du secteur circulaire (AO1C) = (AC) = 2 * (R1) * sin(Z1/2)
Longueur de la corde du secteur circulaire (AO1C) = (R1) * [2 *(1 - cos(Z1)]0.5
Longueur de la corde du secteur circulaire (BO1C) = (BC) = 2 * (R1) * sin(Z2/2)
Longueur de la corde du secteur circulaire (BO1C) = {(R1) * [2 *(1 - cos(Z2)]0.5}
Arc d'un secteur circulaire :
Arc d'un secteur circulaire = 2 * R * PI * (Z/360)
Arc du secteur circulaire (AO1C) = 2 * π * (R1) * (Z1/360)
Arc du secteur circulaire (BO1C) = 2 * π * (R1) * (Z2/360)
Z, Z1 et Z2 en degrés.
Arc du secteur circulaire (AO1C) = (R1) * (Z1)
Arc du secteur circulaire (BO1C) = (R1) * (Z2)
Z1 et Z2 en RAD.
Étude métrique de la figure (1) :
Coté (AB) = (46.013) cm, donc (R1) = (23.0065) cm
Côté (AC) = (39.093)
cm, donc (R2) = (19.5465) cm
Côté (BC) = (24.268)
cm, donc (R3) = (12.134) cm
Cos(Z1) = -0.443666554263447
(Z1) = (116.3380568112001)° = 2.03048213672766 (RAD)
Cos(Z2) = 0.443664377800034
(Z2) = (63.6620823354355)° = 1.11111294542907 (RAD)
(T2) = Aire du triangle du secteur circulaire =
237.176767064158
(T3) = Aire du triangle du secteur circulaire = 237.177052216416
(T2) = (T3). Donc dans cette construction, les deux triangles non sont pas semblables, mais ils ont la même superficie.
(T) = Aire du triangle (ABC) =
474.353819280574 = (T2) + (T3)
Aire du secteur circulaire (AO1C) = 537.366125137842
Aire du secteur circulaire (BO1C) = 294.055508923592
Aire des deux secteurs (AO1C) + (BO1C) = 831.421634061434 = Aire du demi cercle dont le diamètre = (AB) et le rayon = (R1)
(S2) = Aire du segment du secteur circulaire (AO1C) = 300.189358073683
(S3) = Aire du segment du secteur circulaire (BO1C) = 56.8784567071752
L1 = Aire de la lunule (1) d'Hippocrate = 299.957980783075
L2 = 174.396100557106
L1 + L2 = Aire des deux lunules d'Hippocrate = 474.354081340181 = Aire du triangle (ABC).