Définitions :

*Lunule : N.F - C'est une surface concave-convexe délimitée par deux arcs de cercles à la façon d'un croissant de lune.
*Lunule : figure plane en forme de croissant, «  limitée par deux arcs de cercle qui ont leurs convexités du même côté et qui se terminent aux mêmes points  » (Poiré). (Le Grand Robert).
* Secteur circulaire : NM - C'est la partie d'un disque délimitée par deux rayons de cercle et un arc de cercle.
* Segment circulaire : est une partie d'un cercle située entre une corde droite sécante et un arc circulaire d'un secteur circulaire.
* Corde : N.F - C'est un segment de droite dont les extrémités se trouvent sur le cercle.
* Arc : N.M - C'est une portion de cercle délimitée par deux points.
* Flèche : N.F - C'est le segment reliant le milieu d'un arc de cercle au milieu d'une corde définis par deux mêmes points du cercle.
* Rayon : N.M - En Géométrie : un segment de valeur constante joignant le centre d'un cercle ou d'une sphère à un point quelconque de ceux-ci ; la longueur d'un rayon d'un cercle ou d'une sphère est égal à la moitié du diamètre de ceux-ci.
* Diamètre : N.M - Est une corde d'un cercle ou d'une sphère passant par le centre de ceux-ci et les divisant en deux parties égales.
* Secteur circulaire : NM - Le secteur en géométrie est une surface limitée généralement par deux rayons et un arc de courbe.
Le secteur circulaire est une portion de plan limitée par un arc de cercle et deux rayons aboutissant au centre du cercle.
* Segment circulaire : est une partie d'un disque circulaire située entre une corde et l'arc de cercle correspondant.
* Angle d'un secteur circulaire : un angle au centre d'un secteur circulaire formé par deux rayons du cercle.

Lunules d'Hippocrate de Chios pour un carré :

Voir également les lunules d'Hippocrate pour un triangle rectangle

* Soit
(ABCD) un triangle rectangle ;
(K) = longueur du côté du carré
(O1) = le centre du carré (ABCD) et également le centre du cercle (δ₁) circonscrit à ce même carré.
(δ₂) = le cercle dont le centre est (Θ₁) et le diamètre est le côté (AB) du carré (ABCD).
(R₁) = le rayon du cercle (δ₁) ; sa longueur vaut la moitié de celle de la diagonale du carré (ABCD).
(R₂) = le rayon du cercle (δ₂) ; sa longueur vaut la moitié de celle du côté (AB) du carré (ABCD).
L₁ = la lunule d'Hippocrate située à l'extérieur du segment circulaire (S₁) du cercle (δ₁) ) et limité par l'arc circulaire extérieur du cercle (δ₂).
L₂ = la lunule d'Hippocrate située à l'extérieur du segment circulaire (S₂).
L₃ = la lunule d'Hippocrate située à l'extérieur du segment circulaire (S₃).
L₄ = la lunule d'Hippocrate située à l'extérieur du segment circulaire (S₄).

*- Selon Hippocrate de Chios :

L'addition des aires des lunules d'Hippocrate (L₁), (L₂), (L₃), (L₄) = Aire du carré (ABCD).

*- Formules permettant de prouver cette proposition géométrique d'Hippocrate :

(S) = Aire du carré = (K)²
Diagonale du carré (ABCD) = [K * √(2)]
(R₁) = {0.5 * [ K * √(2)]} ⇒ K * √0.5, donc K = (R1) * √(2)
(R₂) = (0.5 * K)
(S°) = Aire du cercle (δ₁) circonscrit au carré (ABCD) = [π * (R₁)²]
(S1) = Aire du cercle (δ₂) = [π * (R₂)²] = [π * (0.5 * K)²] = 0.25 * π * (K)² = 0.5 * π * (R₁)²
On peut conclure que l'aire de l'ensemble des quatre cercles (c'est-à-dire [4*(S1)] dont le diamètre est égal au côté du carré (ABCD) vaut l'aire du ce carré multiplié par la valeur numérique de (π) parce que
4 * (S1) = 4 * [0.25 * π * (K)²] = [π * (K)²] ⇒
π = {[4 * (S1)] / [(K)²]} ⇒
 π (dans un carré) = le rapport de l'addition des aires des quatre cercles dont la diamètre est égale au côté du carré / l'aire du même carré.

(AS) = Aire du secteur circulaire (AO₁B) = le quart de l'aire du cercle (δ₁) = 0.25 * (S°) = 0.25 * [π * (R₁)²]

T = Aire du triangle (AO₁B) = le quart de l'aire du carré (ABCD) = [0.25 * (K)²] = [0.25 * [(R1) * √2]²] = 0.5 * (R₁)²

(Sg) = Aire du segment circulaire (AB) du secteur circulaire (AO₁B) = Aire du secteur circulaire (AO₁B) - Aire du triangle (ABC)
(Sg) = 0.25 * [π * (R₁)²] - [0.5* (R₁)²] = [(R₁)² * (π/4 - 0.5)] = [(R₁)² * (0.285398163397448)] =

L₁ = Aire de la Lunule d'Hippocrate situé au-dessus du côté (AB) du carré (ABCD).
L₁= Aire du demi cercle (δ₂) - Aire du segment secteur (AB) du secteur circulaire (AO₁B).
L₁ = [0.5 * π (R₂)² - [(R₁)² * (0.25 * π - 0.5)]

L1 [en remplaçant (R1) et (R2) par leurs correspondant en (K)] = [0.5 * π (0.5 * K)²] - [(K * √2)² * (0.25 * π - 0.5)]

En réduisant la formule précédente on obtient = L₁ = [0.25 * (K)²] ⇒
Cela signifie que l'aire de la lunule d'Hippocrate (L₁) est égale au quart de l'aire du carré (ABCD) et l'addition des aires des quatre lunules d'Hippocrate (L₁, L₂, L₃, L₄) par cette simple multiplication : 4 * [0.25 * (K)²] = (K)² = Aire du carré (ABCD).

En utilisant la formule suivante découverte pour calculer l'aire de lunule d'Hippocrate pour un triangle rectangle :

L₁ = Aire de la lunule (1) d'Hippocrate = 0.5 * { π * (R₂)² - (R₁)² * [Z- sin(Z_/)]}
Z (en rad) est l'angle du secteur circulaire (AO₁B) qui est dans le carré (ABCD) égal à 90° degrés (1.5707963267949 rad) , alors la formule précédente devient
L₁ = Aire de la lunule (L₁) d'Hippocrate = 0.5 * { π * (R₂)² - (R₁)² * [1.5707963267949- 1]} =
0.5 * { π * (R₂)² - (R₁)² * [0.5 * π - 1]} = 0.5 * { π * (R₂)² - 0.5 * (R₁)² * π + (R₁)² } = 0.5 * { π * [(R₂)² - 0.5 * (R₁)²] + (R₁)² }
dans la formule précédente la valeur de π * [(R₂)² - 0.5 * (R₁)²] = 0  ⇒ L₁ = [0.5 * (R₁)²] donc

⇒ L₁ = Aire de la lunule (L₁) d'Hippocrate = [0.5 * (R₁)²] = (R₂)² = [0.25 (K)²]
où (R₁) est le rayon du cercle circonscrit au carré (ABCD) ; ( R₂) est rayon du cercle dont le diamètre est égal (AB = K) et enfin, (K) est la longueur du côté du carré (ABCD).

D'après les formules précédentes (Aire de la lunule (L) d'Hippocrate = [0.5 * (R₁)²] = (R₂)² = [0.25 (K)²]) on peut conclure que l'aire d'une lunule d'Hippocrate est égale à :

1)- (S1) = aire d’un carré dont le côté est égal à (R₂) et la diagonale = (R₁).
2)- (S2) = aire d’un triangle rectangle et isocèle dont le côté est = à (R₁) et la base est égale au côté (K) du carré (ABCD).

(R₁) = le rayon du cercle circonscrit au carré (ABCD).
(R₂) = le rayon du cercle dont le diamètre est égal au côté du carré (ABCD) ⇒ (R₂) = (K / 2).

La construction ci-dessous démontre cette proposition : (S1) = (S2) = l'aire d'une lunule d'iHippocrate.

Dans la construction suivante :

* Le cercle (α) est le cercle circonscrit au carré (ABCD) dont le rayon est (R₁) = 0.5 * [K * √(2)] avec (K) = la longueur du côté du carré (ABCD)
* Le cercle (β) est le cercle dont le centre est (O1) = centre du cercle (α). Ce cercle son rayon est = à (K) [ou 2 * (R₂)], il circonscrit l'ensemble du carré (ABCD) est les quatre lunules d'Hippocrate.

* L'aire du cercle (β) = [π * (K)²]
* L'aire du cercle (α) = π * [ 0.5 * K * √(2)]² = [0.5 * π * (K)²] ⇒ l'aire du cercle (β) est le double de l'aire du cercle (α).
* On conclut que l'aire de l'anneau circulaire situé entre les deux cercles (α) et (β) est égale à l'aire du cercle (α).
* Dans cet anneau se situent les quatre lunules d'Hippocrate puis les quatre espaces entre lunulaires (V1, V2, V3 et V4).
* Par opération de sustraction on peut constater que l'aire de chaque espace entre lunulaire est égale
= [0.25 * (R₁)² * (π - 2)] = {[(K)² * (π - 2)] / 8}