(Dans un triangle (ABC = T - ABC) :
* (O) = le centre du cercle circonscrit au (T - ABC).
* Trois cercles (A’, B’ et C’) isométriques inscrits dans le triangle (ABC) et chacun est tangent aux deux côtés du (T - ABC) ; ils se croisent en un point commun (point «S» ou «Y»).

Ces trois cercles sont appelés les « Cercle d'Yff Peter »

Les trois cercles d'Yff peuvent être inscrits dans le triangle (ABC), mais ils peuvent être aussi dans certaines constructions, et partiellement, à l'extérieur de ce triangle, alors si c'est le cas, certains points de tangence avec les côtés du triangle (ABC) se situent à l'extérieur, surleurs prolongations extérieures.

* Les centres de ces cercles se situent obligatoirement sur les trois bissectrices des angles des sommets du (T - ABC).

* Le triangle (A’B’C’) ou [(Θ1Θ2Θ3) dans la dernière construction] dont les trois sommets sont les centres des cercles d'Yff (A’, B’ et C’) ou (Θ1, Θ2, Θ3) sont semblable au (triangle ABC) par une homothétie du centre (i), de rapport pouvant être calculé en utilisant la formule déterminée par « Yff » :

      ° - Rayon des cercles d'Yff inscrits dans le triangle (ABC) = Ry1 = (R * r) / (R + r).
      ° - Rayon des cercles d'Yff partiellement à l'extérieur inscrits du triangle (ABC) = Ry2 = (R * r) / (R - r).

      sachant que (R) = le rayon du cercle circonscrit au triangle (ABC) et (r) = le rayon du cercle inscrit dans le triangle (ABC).

Alors le rapport d'homothétie entre les éléments du triangle (A’B’C’) et son semblable le triangle (ABC) = (Ry1 / R)
ou pour le triangle (Θ1Θ2Θ3) et et son semblable le triangle (ABC) = (Ry2 / R).

* Le point (i) dans cette figure et dans ces conditions de construction est le centre des cercles inscrits dans le triangle (ABC) et également dans le triangle (A’B’C’) et le triangle (Θ1Θ2Θ3).

* Les points (S), (i) et (O) sont alignés et également les points (Y), (i) et (O)..

* Le point (S) et (Y) sont également les centres des cercles (S) et (Y) circonscrits au triangle (A’B’C’) ou du triangle (Θ1Θ2Θ3) ; ces cercles ont le même rayon que les cercles (A’, B’ et C’) ou (Θ1, Θ2, Θ3) (En effet, le point (S) ou (Y) dans le triangle (A’B’C’) ou le triangle (Θ1Θ2Θ3) (sont l'équivalents du point (O) dans le triangle (ABC), c'est-à-dire le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

* Le rayon des cercles (A’, B’, C’ et S) est unique et dépend de la forme et les dimensions du triangle (ABC) ; cela s'applique également à l'emplacement de ces cercles dans le triangle (ABC) parce qu'il n'y a qu'une unique solution permettant leurs positionnements tout en respectant les conditions de la construction ci-dessus.

* Les côtés (A'B'), (A'C') et (B'C') du triangle (A'B'C') et les côtés du triangle (Θ1Θ2Θ3) sont parallèles respectivement aux côtés du triangle (ABC) ; cela est dû au fait que les trois cercles (A’, B’, C’) ou (Θ1, Θ2, Θ3) sont isométriques (ayant même valeur de rayon qui vaut à la distance séparant chaque côté de triangle (ABC) de son équivalent dans le triangle (A'B'C') et du triangle (Θ1Θ2Θ3).