* Tableau montrant le comportement de la fonction de fraction continue inversée où chaque itération inverse la précédente après l’avoir augmentée de 1.

* Cela crée une oscillation autour d’une valeur limite quoique ce soit la valeur initiale (x) pour finir par converger (toujours) vers le nombre d'or inversé (ou le conjugué du nombre d’or = 1/φ = 0,5[(√(5)-1] = 0,61803398874989... , mais une fois que la suite d’opérations atteint cette valeur, la marche arrière devient impossible : le conjugué du nombre d’or dans cette suite est un piège numérique (un trou noir dans la galaxie de nombres).

* Cette suite de fraction continue inversée permet également de produire l'ensemble des nombres de Fibonacci : on remarque qu'il s'agit d'une suite simple ou chaque nombre de Fibonacci résulte de l'addition de ses deux nombres précédents : Fn = [(Fn^-1) + (Fn^-2)].

Fibonacci (Leonardo PISANO - env. 1175 à Pise- env. 1250) est un mathématicien italien qui a vécu une grande partie de sa vie à Bougie (actuellement Béjaia en Algérie). En visitant avec son père plusieurs pays de culture arabe (Égypte, Syrie, Sicile...), il constata la supériorité du système numérique décimal arabo-indien sur celui des chiffres romains. Le système décimal arabo-indien fut introduit dans les opérations de calculs mathématiques dans le monde arabo-musulman par Al-Khawarizmi (env. 780 - env. 850). Ce dernier avait rapporté ce système de l'Inde.
Fibonacci écrivit plusieurs traités dont Liber abaci et Pratica Geomtria, dans lesquels il introduit le système décimal arabo-indien et utilisa les mathématiques arabes de l'époque afin de résoudre les problèmes de calcul de la vie courante.

Fibonacci créa sa suite afin de comprendre et expliquer le phénomène de l'extrême capacité des lapins à se reproduire :
Partant d'un couple de lapins, combien en obtiendra-t-on après un certain nombre de mois, sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu'au troisième mois ?
La maturité sexuelle des lapins est atteinte à mois d'âge et la durée de gestation est d'un mois.

Dans le tableau suivant, le (n) des fonctions fn(x) correspond au nombre de mois depuis le début de l'observation d'un couple de lapin, et le nombre de Fibonacci, correspond au nombre de couples de lapins obtenus après (n) mois, exemple : au 30e mois [f30(x)], on obtient 1 346 269 couples de lapins, et 39 088 169 à 37 mois.

Ce phénomène de prolifération exponentielle des lapins nous rappelle l'explosion démographique de leur population localement en Tasmanie (Australie) au début du XIXe siècle. Dans les années 50, il a fallu introduire chez les lapins australiens le virus myxoma, agent infectieux de la myxomatose, afin de réussir à réduire considérablement leur expansion démographique.

Consulter également : Calculatrice des nombres de la suite de Fibonacci.