Triangle in-équialteral
Introduisez les valeurs des trois côtés d'un triangle (ABC) afin d'effectuer une étude métrique élargie concernant ses principales données et caractéristiques

Côté AB :

Côté AC : Côté BC :
   
  * Angle Z1 du triangle (ABC)   •  cos(Z1)
  •  sin(Z1)
  •  tan(Z1)
  * Angle Z2 du triangle (ABC)   •  cos(Z2)
  •  sin(Z2)
  •  tan(Z2)
  * Angle Z3 du triangle (ABC)
   •  cos(Z3)
  •  sin(Z3)
  •  tan(Z3)
  •  Hauteur 1 (CD)   • Périmètre du triangle ABC
  •  Hauteur 2 (AE)   •  Surface du triangle ABC
  •  Hauteur 3 (AF)
 
  •  Segment (AD)
 
  •  Segment (DB)    
Le cercle circonscrit au triangle (ABC) et le cercle inscrit dans le triangle (ABC)
Cercle circonscrit au triangle ABC (Rc)
 Cercle inscrit dans triangle ABC (Ri)
Le centre de ce cercle est le point de concours des
médiatrices (axes) du triangle ABC		 Le centre de ce cercle est le point de concours des
bissectrices du triangle ABC
 • Rayon du cercle circonscrit   •  Rayon du du cercle inscrit
 • Diamètre du cercle circonscrit   •  Diamètre du cercle inscrit
 • Périmètre du cercle circonscrit   •  Périmètre du cercle inscrit
 • Surface du cercle circonscrit   •  Surface du cercle inscrit
  •  Rayon du cercle circonscrit au triangle (ABC) × Rayon du cercle inscrit dans le triangle ABC   =   
Différents rapports entre les cercles circonscrit et inscrit du triangle (ABC) et ses paramètres
  • Surface du cercle circonscrit / Surface du triangle ABC   • 
  • Périmètre du cercle circonscrit / périmètre du triangle ABC   • 
  • Périmètre du triangle ABC / périmètre du cercle inscrit du triangle ABC   • 
  • Rayon du cercle circonscrit / Rayon du cercle inscrit) du triangle ABC   • 
  • Périmètre du cercle circonscrit / Périmètre du cercle inscrit) du triangle ABC   • 
  • Surface du cercle circonscrit / Surface du cercle inscrit dans le triangle ABC   • 
  • Surface du triangle ABC / surface du cercle inscrit dans le triangle ABC   • 
Le triangle orthique (DEF) inscrit dans le triangle (ABC) - Étude métrique

Le triangle orthique d'un triangle ABC est un triangle dont les sommets sont les pieds de hauteur du triangle ABC. Il s'agit du plus petit triangle pouvant être inscrit dans un triangle acutangle (aux angles aigus). Les hauteurs du triangle ABC sont les bissectrices des angles orthique.
Le cercle circonscrit au triangle orthique est connu sous le nom du cercle remarquable d'Euler qui passe par les sommets du triangle orthique (les pieds des hauteurs du triangle ABC), puis par les pieds des médianes et des médiatrices du triangle (ABC), également par les milieux des segment AH, BH et CH (H est l'orthocentre du triangle ABC, c'est-à-dire le point de concours des trois hauteurs du triangle ABC). Enfin, le cercle d'Euler passe les trois points de croisement des hauteurs du triangle ABC avec les trois médiatrices du triangle orthique (DEF). Le centre du cercle d'Euler (w) se situe la droite d'Euler qui passe par le point (H), ou l'orthocentre du triangle (ABC) et par le point (O), ou centre du cercle circonscrit au triangle (ABC) avec la particularité que le centre du cercle d’Euler (point w) se situe au milieu du segment HO.
Le triangle orthique du trianngle ACB et le cercle d'Euleur
 • Côté (DF) du triangle DEF  • Périmètre du triangle orthique DEF
 • Côté (DE) du triangle DEF  • Surface du triangle orthique DEF
 • Côté (EF) du triangle DEF  • Rayon du cercle circonscrit au triangle DEF (d'Euler)
 • Angle (FDE) du triangle DEF  • Rapport du rayon du cercle circonscrit au triangle ABC / rayon du cercle circonscrit d'Euler au triangle orthique DEF =
 • Angle (DFE) du triangle DEF
 • Angle (DEF) du triangle DEF
Le triangle complémentaire construit par les pieds des médiatrices dans le triangle (ABC)

Le triangle (UXY) est construit en reliant les pieds des trois médiatrices (axes des trois côtés AB, AC et BC), donc les sommets de ce triangle sont les milieux des côtés du triangles ABC. Les deux triangles ABC et UXY sont homothétiques dont les côtés sont parallèles deux à deux ; ils sont également semblables (de même forme). Chaque côté de triangle (UXY) mesure la moitié du côté parallèle à lui dans le triangle ABC).
Le triangle ABC par cette procédure est divisé en quatre triangles égaux et semblables (UXY ; AUY ; BUX et AXY), c'est-à-dire leurs angles ont, deux à deux même mesure.
 
Les médiatrices d'un triangle ABC avec la construction du cercle circonscrit et le cercle d'Euler et la droite d'Euler
 • Côté UY = BX = XC = 1/2 côté CB =  • 
 • Côté UX = AY = CY = 1/2 côté AC =  • 
 • Côté XY = AU = UB = 1/2 côté AB =  • 
 • Périmètre du triangle (UXY) = Périmètre du triangle (AUY) = Périmètre du triangle (UXB) = Périmètre du triangle (CXY) = 1/2 Périmètre du triangle (ABC)  • 
• Surface du triangle (UXY) = surface du triangle (AUY) = Surface du triangle (UXB) = Surface du triangle (CXY) = 1/4 de la surface du triangle (ABC) =  • 
 • Angle XUY = Angle AYU = Angle UXB = Angle YCX = Angle Z3 =  • 
 • Angle XYU = Angle AUY = Angle XBU = Angle CXY = Angle Z2 =  • 
 • Angle YXU = Angle YAU = Angle XUB = Angle CYX = Angle Z1 =  • 
 • Rayon du cercle circonscrit au triangle (UXY) = Cercle d'Euler =  • 
 • Périmètre du cercle circonscrit au triangle (UXY) = Cercle d'Euler =  • 
 • Surface du cercle circonscrit au triangle (UXY) = Cercle d'Euler =  • 
 • Rayon du cercle inscrit dans le triangle (UXY) =  • 
 • Périmètre du cercle inscrit dans le triangle (UXY) =  • 
 • Surface du cercle inscrit dans le triangle (UXY) =  • 
Les trois médianes du triangle (ABC) qui concourent au point 'G' ou
le (Centre de gravité du triangle ABC) - Étude métrique.

Le triangle (UXY) construit en reliant les pieds des médianes est le même triangle (UXY) obtenu en reliant les trois pieds des médiatrices. Le triangle (UXY) est appelé également le triangle complémentaire du triangle (ABC).
Le cercle circonscrit au triangle (UXY) est le cercle d'Euler (Leonhard - 1707 - 1783). Le point de concours des trois médianes et le point 'G', il est dans la 'Droite d'Euler'.
Les médianes du triangle ABC, sont également les médianes (chacun relie le sommet au point du milieu du côté opposé) de toute la série de triangle (plus petits ou plus grands) construits sur la technique avec comme centre de gravité le point 'G'.

Les médianes du triangles ABC et leurs particularités
 • La médiane AX  •   • Segment AG  • 
 • Segment XG  • 
 • La médiane BY  •   • Segment BG  • 
 • Segment YG  • 
 • La médiane CU  •   • Segment CG  • 
 • Segment UG  • 
 
• Segment AX² = 1/2 AX

 
• Segment BY² = 1/2 BY

 
• Segment CU² = 1/2 CU

 • Côté UY = 1/2 BC =  • Segment UX² = segment X²Y = 1/4 BC =
 • Côté UX = 1/2 AC =  • Segment UY² = segment Y²X = 1/4 AC =
 • Côté XY = 1/2 AB =  • Segment XU² = segment U²Y = 1/4 AB =
 • Angle XAB = Angle AXY =  • Angle XAY = Angle GXU =
 • Angle ABY = Angle BYX =  • Angle YBC =
 • Angle ACU = Angle GUX =  • Angle BCU = Angle GUY =
 • Angle UGX = Angle BY²U  • Angle AGB = Angle XGY
Angle AGY = Angle BGX  
 • Angle AXB =  • Angle GXU =
 • Angle GXY =  • Angle AX²U = Angle AXB
 • Angle CUB =  • Angle GUX =
 • Angle GUY =  • Angle BY²U = Angle UGX 
 • Angle CU²X =  • Angle CU²Y = Angle CUA
 
Étude métrique du triangle QRS inscrit dans le triangle ABC et produit par les pieds de ses trois bissectrices
Les bissectrices angulaires du triangle (ABC)
 • Côté (QR) du triangle QRS
  • Angle (SRQ)
 • 
  • Cos(SRQ)     • 
 • Côté (QS) du triangle QRS
  • Angle (RSQ)
 • 
  • Cos(RSQ)      • 
 • Côté (SR) du triangle QRS
  • Angle (SQR) 
  • 
  • Cos(SQR)       • 
 • Bissectrice (AR)
 • Segment (AW)
 • 
 • Segment (RW)  • 
 • Bissectrice (BS)
 • Segment (BW)
 •   
 • Segment (SW)    • 
 • Bissectrice (CQ)
 • Segment (WQ)
  • 
 • Segment (CW)  • 
 • Segment (AQ) du (AB)
 • Segment (QB) du (AB)  • 
 • Segment (BR) du (BC)
 • Segment (CR) du (BC)  • 
 • Segment (AS) du (AC)
 • Segment (CS) du (AC)  • 
 • Angle (CQS)
 • Angle (RQC)  
  • 
 • Angle (AWQ)  • 
 • Angle (AQC)
 • Segment Aa1 = Aa2
 • Segment Ba1 = Ba3  • 
 • Segment Aa2 = Aa1
 • Segment Ca2 = Ca3  • 
 • Segment Ba3 = Ba1
 • Segment Ca3 = Ca2  • 
       
  • Périmètre du triangle QRS  •   • Surface du triangle QRS     • 
       
       
 • Rayon du cercle inscrit dans le triangle (QRS)    •   • Rayon du cercle circonscrit au triangle (QRS)  • 
       

Étude métrique (côtés et angles) du triangle (a1a2a3) dont les trois sommets sont les points de tangence du cercle inscrit dans le triangle
(ABC) à ses trois côtés (AB, AC, BC)
Les bissectrices angulaires du triangle (ABC) - Deux triangles issus de cette construction
       
 • Côté (a1a2) du triangle (a1a2a3)  •   • Angle (a2a1a3) du triangle (a1a2a3)  • 
 • Côté (a1a3) du triangle (a1a2a3)  •   • Angle (a1a2a3) du triangle (a1a2a3)  • 
 • Côté (a2a3) du triangle (a1a2a3)  •   • Angle (a1a3a2) du triangle (a1a2a3)  • 
       
       
  • Périmètre du triangle (a1a2a3)  •    • Surface du triangle (a1a2a3)  • 
       
       
 • Rayon du cercle inscrit dans le triangle (a1a2a3)  •   • Rayon du cercle circonscrit au triangle (a1a2a3)  • 
       
Sur chacun des trois côtés du triangle (ABC), évaluation métrique de la distance (en valeur absolue) séparant le
le pied de la bissectrice angulaire (issue du sommet opposé) du point de tangence du cercle inscrit dans ce triagle (ABC).
 • Segment (a1Q)  •   • Segment (a2S)  •   • Segment (a3R)  • 
Point de Gergonne (Joseph Diaz 1771 - 1839) d'un triangle (ABC)

* Les trois points (a1, a2 et a3) sont les points de contact du cercle inscrit dans le triangle (ABC) avec respectivement ses trois côtés (AB, AC et BC).
* Les trois segments (Aa3, Ba2 et Ca1) councourent en un point, c'est le "Point de Gergonne" du triangle (ABC).
Le point de Gergonne d'un triangle ABC
           
 • Segment (Aa3)  •   • Segment (Ba2)  •   • Segment (Ca1)  • 
           

[Segment (Aa1) /Segment (Ba1)] * [Segment (Ba3) /Segment (Ca3)] * [Segment (Ca2) /Segment (Aa2)] =  


* Selon le théorème de Céva (Giovanni ou Jean - 1648 - 1734), dans un triangle (ABC), quand la formule précédente est égale à (1), alors les trois segments (Aa3 - Ba2 - Ca1) sont concourants à un seul point (nommé "Point de Gergonne" - Point 'Ge' ).
* Les segments (Aa3 - Ba2 - Ca1) sont décrits comme étant des céviennes ; c'est le cas également pour d'autres éléments du triangle (ABC) : ses hauteurs, ses médianes, ses médiatrices et ses bissectrices internes.

Étude métrique des trisectrices des trois angles (Z1, Z2 et Z3) du triangle (ABC) et le triangle de Morley (Frank - 1860 - 1937) dont les trois
sommets se produisent par le recoupement de ces trisectrices ; il s'agit d'un triangle équilatéral
Trisectrices des trois angles du triangle ABC et la création du triangle de Morley
           
 • Côté (αγ) du triangle de Morley    • Côté (αβ) du triangle de Morley    • Côté (βγ) du triangle de Morley  

Cette étude métrique confirme que le triangle (αβγ ou le triangle de Morley) est équilatéral
 
       
 • Périmètre du triangle de Morley  •   • Surface du triangle de Morley  • 
 • Rayon du cercle circonscrit au triangle de Morley  •   • Rayon du cercle inscrit dans le triangle de Morley  • 
       
 • Segment (Aα) du triangle de Morley  •   • Segment (Aγ) du triangle de Morley  • 
 • Segment (Bα) du triangle de Morley  •   • Segment (Bβ) du triangle de Morley  • 
 • Segment (Cβ) du triangle de Morley  •   • Segment (Cγ) du triangle de Morley  • 
 • Trisectrice (Cσ1) de l'angle (Z1) du triangle (ABC)  •   • Trisectrice (Cσ2) de l'angle (Z1) du triangle (ABC)  • 
 • Trisectrice (Aσ3) de l'angle (Z1) du triangle (ABC)  •   • Trisectrice (Aσ4) de l'angle (Z1) du triangle (ABC)  • 
 • Trisectrice (Bσ5) de l'angle (Z1) du triangle (ABC)  •   • Trisectrice (Bσ6) de l'angle (Z1) du triangle (ABC)  • 
 • Segment (Aσ1) - Triangle ABC  •   • Segment (σ1σ2) - Triangle ABC  •   • Segment (σ2B) - Triangle ABC  • 
 • Segment (Bσ3) - Triangle ABC  •   • Segment (σ3σ4) - Triangle ABC  •   • Segment (σ4C) - Triangle ABC  • 
 • Segment (Cσ5) - Triangle ABC  •   • Segment (σ5σ6) - Triangle ABC  •   • Segment (σ6A) - Triangle ABC  • 
 • Angle (Aσ1C) du triangle ABC  •   • Angle (Aσ2C) du triangle ABC  • 
 • Angle (Aσ3B) du triangle ABC  •   • Angle (Aσ4B) du triangle ABC  • 
 • Angle (Aσ6B) du triangle ABC  •   • Angle (Aσ5B) du triangle ABC  • 
Trisecteurs des côtés d'un triangle (ABC) - Triangle semblable miniature interne - Étude métrique
Trisecteurs des côtés d'un triangle (ABC) - Étude métrique

L'étude métrique des six trisecteurs des côtés du triangle (ABC) avec les trisections produites (non isogoniques) au niveau de ses angles (A, B, C)
 • Trisecteur AA'  •   • Trisecteur AA''  •     
 • Trisecteur BB'  •   • Trisecteur BB''  •     
 • Trisecteur CC'  •   • Trisecteur CC''  •     
           
 • Angle A'AB  •   • Angle A''AA'  •   • Angle CAA''  • 
 • Angle ABB'  •   • Angle B'BB''  •   • Angle CBB''  • 
 • Angle ACC'  •   • Angle C'CC'  •   • Angle BCC'  • 
           
 • Segment AD  •   • Segment BD  •   • Segment AF  • 
 • Segment CF  •   • Segment BE  •   • Segment CE  • 
Les caractéristiques du triangle (DEF) résultant des croisements des trisecteurs des côtes du triangle (ABC) :

* DEF est un triangle semblable au triangle (ABC) : les triangles (DEF) et (ABC) sont isogoniques (chacun ayant le même valeur angulaire que son équivalent), mais les côtés ne sont pas isométriques, parce que l'étude métrique montre que les côtés du triangle (ABC) sont cinq fois (x5) plus longs que ceux du triangle (DEF) ; cela s'applique sur les rayons des cercles circonscrits aux deux triangles avec également une surface du triangle (ABC) vingt cinq fois (x25) supérieure à celle du triangle (DEF).

* L'étude de la position du triangle (DEF) montre que chacun de ses angles se situe en opposition avec l'angle équivalent du triangle (ABC) : haut contre bas, droite contre gauche et l'inverse. L'autre particularité est que chaque côté du triangle (DEF) est parallèle au côté équivalent du triangle (ABC).

* Conclusion : le triangle (DEF) est de périmètre égale à (1/5) du triangle (ABC) et de surface égale (1/25) de ce dernier. Les trisecteurs de côtés, en se croisant dans de triangle (ABC), produisent sa miniature (1/25) triangulaire semblable (ou une copie) avec un parallélisme inversé.


 • Côté DF du triangle (DEF)  •   • Côté DE du triangle (DEF)  •   • Côté EF du triangle (DEF)  • 
 • Angle EDF (= Z3)  •   • Angle DEF (= Z1)  •   • Angle DFE (= Z2)  • 
 • Angle CEF  •   • Angle CC''C  •   • Conclusion : le côté EF est parallèle au côté AB
 • Angle BDE  •   • Angle BB'B''  •   • Conclusion : le côté DE est parallèle au côté AC
 • Angle ADF  •   • Angle AA'A''  •   • Conclusion : le côté DF est parallèle au côté BC
Quelques rapports métriques entre le triangle (ABC) et sa miniature, le triangle (DEF)
 • Périmètre du triangle (DEF)  •   • Périmètre du triangle (ABC) / Périmètre du triangle (DEF)  • 
 • Surface du triangle (DEF)  •   • Surface du triangle (ABC) / Surface du triangle (DEF)  • 
 • Rayon cercle circonscrit au triangle (DEF)  •   • Rayon cercle circonscrit au triangle (ABC) / Rayon cercle circonscrit au triangle (DEF)  • 
 • Rayon cercle inscrit dans le triangle (DEF)  •   • Rayon cercle inscrit dans le triangle (ABC) / Rayon cercle inscrit dans le triangle (DEF)  • 

Étude métrique du cercle exinscrit au côté BC et situé dans le secteur angulaire (AB, AC) ,c'est-à-dire l'angle Z1).
Le centre de ce cercle se situe au point de concours de la bissectrice interne de l'angle Z1 avec les bissectrices
externes des angles Z2 et Z3
'R' = le rayon du cercle exinscrit au BC = 0.5 * périmètre du triangle (ABC) *tan(Z1/2)
Trigonomètrie - Analyse du cercle exinscrit au côté d'un triangle ABC
•Rayon-cercle exinscrit au (BC)
 • Périmètre du cercle exinscrit au BC
 • Surface du cercle exinscrit au BC
•Rayon-cercle exinscrit au (AB)
 • Périmètre du cercle exinscrit au AB
 • Surface du cercle exinscrit au AB
•Rayon-cercle exinscrit au (AC)
 • Périmètre du cercle exinscrit au AC
 • Surface du cercle exinscrit au AC
 
 • Segment AC1 = segment AB1
 • Segment BB1 = segment BT1
 • Segment CC1 = segment CT1
 • Segment AW1
 • Bissectrice de l'angle Z1
 • Segment AW
 • Segment WW1
 • Bissectrice externe CW1 =
 • Segment CC2
 • Bissectrice externe BW1 =
 • Segment BC5

Point de Fermat (Pierre Simon - 1601 + 1665) 'F' et de Torricelli (Évangéliste + 1608 -1647) 'T' d'un triangle (ABC)

Dans un triangle ABC acutangle (ayant 3 angles aigus), ou aucun de ses angles n’excède pas les 120°, il y a un seul point nommé point 'T' de Torricelli qui se caractérise par le fait que les trois segments (AT, BT, CT) le reliant aux sommets du triangle ABC forment entre eux trois angles égaux mesurant chacun 120°.
Pour déterminer la position du 'T', il faut construire à l'extérieur du triangle (ABC) trois triangles équilatéraux (ABC', ACB', et BCA') chacun est sur l'un des trois côtés (AB, AC et BC) du triangle (ABC) et leurs côtés sont égales au côté correspondant de ce triangle (ABC). Les trois cercles circonscrits à ces trois triangles ((ABC', ACB', et BCA') ont un point commun, c'est le point 'T' de Torricelli.
Le seul point résultant de l'intersection des trois droites passant par (AA', BB' et CC') est appelé le point de Fermat 'F', ce point coïncide avec le point 'T' de Torricelli du triangle (ABC) quand ce triangle est acutangle.

L'étude métrique de cette figure géométrique montre que les trois segments (AA', BB' et CC') sont de longueurs égales (isométriques) et ils sont également bissectrices des trois angles centraux (ATB = 120°, ATC = 120°, BTC = 120°) d'où la formation de six angles isométriques de 60° chacun.

L'étude métrique montre que dans cette composition géométrique, le triangle (O1O2O3) dont les trois sommets sont les centres des trois cercles circonscrits aux triangles (ABC', ACB' et BCA') : ce triangle est bien équilatéral. (observer la deuxième figure ci-dessous et l'analyse métrique).

Le triangle (O1O2O3) est connu dans la littérature sous le nom du « Triangle extérieur de Napoléon » Triangle extérieur de Napoléon (1769 - 1821). Le trois droites (AO3) ; (BO2) et (CO1) sont concourantes en un point désigné par la lettre (N+) et connu sous le nom du « Premier point de Napoléon ».

Si le triangle (ABC) est équilatéral, les deux triangles [(O1O2O3) et (ABC)] forment une belle figure de polygone hexagone régulier et étoilé Polygone hexagone régulier et étoilé. Dans cette figure, le point de Torricelli - Fermat et les centres des cercles circonscrits aux triangles [(O1O2O3) et (ABC)] et le premier point de Napoléon sont superposés.

Si les trois triangles (ABC', ACB', et BCA') sont construits à l'intérieur du triangle (ABC), les centres des trois cercles circonscrits (O1 ;O2 ; O3) devinent les trois sommets d'un petit triangle équilatéral connu sous le nom du « Triangle intérieur de Napoléon » Triangle intérieur de Napoléon.

Voir également la procédure de (Napoléon - Mascharoni - Triangle intérieur de Napoléon) afin de déterminer le centre d'un cercle à l'aide seulement le compas.


Point de Fermat et Torricelli d'un triangle (ABC)
 • Segment AA'  •   • Segment BB'  •   • Segment CC'  • 
 • Angle A'AB  •   • Angle ABB'  •   • Angle ATB  • 
 • Angle CAA'  •   • Angle ACC'  •   • Angle ATC  • 
 • Angle CBB'  •   • Angle BCC'  •   • Angle BTC  • 
 • Segment AT  •   • Segment BT  •   • Segment CT  • 
 • Segment A'T  •   • Segment B'T  •   • Segment C'T  • 
 • Angle ATC' = Angle CTA'  •   • Angle BTC' = Angle CTB'  •   • Angle ATB' + Angle BTA'  • 
 • Angle AC''T  •   • Angle BC''T  •     
 • Angle BA''T  •   • Angle CA''T  •     
 • Angle AB''T  •   • Angle CB''T  •     
 • Segment AC''  •   • Segment BC''  •   • Segment TC''  • 
 • Segment BA''  •   • Segment CA''  •   • Segment TA''  • 
 • Segment AB''  •   • Segment CB''  •   • Segment TB''  • 
 • Segment A'A''  •   • Segment B'B''  •   • Segment C'C''  • 
Point de Torricelli et Fermat
 • Rayon du cercle circonscrit au triangle (ABC')  •   • Rayon du cercle circonscrit au triangle (ACB')  •   
 • Rayon du cercle circonscrit au triangle (BCA')  •   • Rayon du cercle circonscrit au triangle (ABC)  • 
 • Segment O1d3  •   • Segment O3d3  •   • Côté O1O3 du triangle O1O2O3  • 
 • Segment O1d1  •   • Segment O2d1  •   • Côté O1O2 du triangle O1O2O3  • 
 • Segment O2d2  •   • Segment O3d2  •   • Côté O2O3 du triangle O1O2O3  • 
 • Côté A'B' du triangle A'B'C'  •   • Côté A'C' du triangle A'B'C'  •   • Côté B'C' du triangle A'B'C'  • 
Point de Fermat et Torricelli d'un triangle ABC équilatéral et la formation d'un polygone hexagone régulier et étoilé

Triangle intérieur de Napoléon du triangle (ABC)
Triangle intérieur de Napoléon
 

Les deux points de Brocard (Henri - 1845 - 1922) nommés (Q et Q', ou K et K') d'un triangle (ABC)
Étude métrique
Ces deux points ont été découverts antérieurement, en 1884 par A. L. Grelle.

    1. En dessinant trois cercles au triangle (ABC) : le premier cercle passe par les deux sommets (A) (B) et tangent au côté (BC) en (B) ; le deuxième cercle passe par les deux sommets (B) et (C) et tangent au côté (AC) en (C) ; puis le troisième cercle passe par (A) et (C) et tangent au côté (AB) en (A). Ces trois cercles passent par un même point appelé "Premier point de Brocard". Il est désigné par la lettre (Q ou K).

    2. En dessinant trois cercles au triangle (ABC) : le premier cercle passe par les deux sommets (A) (B) et tangent au côté (AC) en (A) ; le deuxième cercle passe par les deux sommets (B) et (C) et tangent au côté (AB) en (B) ; puis le troisième cercle passe par (A) et (C) et tangent au côté (BC) en (C). Ces trois cercles passent par un même point appelé "Deuxième point de Brocard". Il est désigné par la lettre (Q' ou K').

    3. En réalisant l'étude métrique pour cette configuration trigonométrique, on constate les particularités suivantes :

      1. Les trois cercles permettant la mise en évidence du " Premier point de Brocard - Q " ne sont pas isométriques par rapport aux trois cercles déterminant le " Deuxième point de Brocard - Q' ".

      2. Les centres des trois cercles du "Premier point de Brocard", c'est-à-dire (O1, O2, O3) sont les sommets du triangle (O1O2O3) dans la figure (Q) (ou O1O2O3 / Q).
      3. Les centres des trois cercles du "Deuxième point de Brocard", c'est-à-dire (O1, O2, O3) sont les sommets du triangle (O1O2O3) dans la figure (Q') (ou O1O2O3 / Q').

      4. Ces deux triangles (O1O2O3 / Q) et (O1O2O3 / Q') sont isométriques (ayant les mêmes longueurs de côtés) et isogoniques (ayant les mêmes valeurs angulaires) et semblables avec :
        1. Le côté (O1O2) / Q =  côté (O1O3) / Q' ; le côté (O1O3) / Q = côté (O2O3) / Q' et le côté (O2O3) / Q = côté (O1O2) / Q'.

        2. L'angle (O2O1O3) / Q =  l'angle (O1O3O2) / Q' = l'angle (Z2) du triangle (ABC).
          L'angle (O1O2O3) / Q = l'angle (O2O1O3) / Q' = l'angle (Z1) du triangle (ABC).
          L'angle (O1O3O2) / Q = l'angle (O1O2O3) / Q' = l'angle (Z3) du triangle (ABC).

        3. Donc les trois triangles : (O1O2O3 / Q) et (O1O2O3 / Q') et (ABC) sont semblables et seulement les deux triangles (O1O2O3 / Q) et (O1O2O3 / Q') sont isométriques.

      5. Dans la figure du point (Q) de Brocard les trois angles : (QAB ; QBC et QCA) sont isogoniques (ayant les mêmes valeurs angulaires) et ils sont isogoniques avec les trois angles (Q'AC; Q'BA et Q'CB) de la figure du point (Q').

      6. L'angle (QBA) de la figue (Q) = l'angle (Q'BC) de la figue (Q') - L'angle (AQB) de la figue (Q) = l'angle (BQ'C) de la figure (Q').
      7. L'angle (QAC) de la figure (Q) = l'angle (Q'AB) de la figue (Q') - L'angle (AQC) de la figure (Q) = l'angle ( AQ'B) de la figure (Q').
      8. L'angle (QCB) de la figure (Q) = l'angle (Q'CA) de la figue (Q') - L'angle (BQC) de la figure (Q) = l'angle ( AQ'C) de la figure (Q').

Points de Brocard d'un triangle ABC
Premier point de Brocard d'un triangle ABC
Deuxième point de Brocard d'un triangle ABC
 • Rayon du cercle passant par (A et B) et tangent à (BC) en (B) - Premier point de Brocard (Q)  • 
 • Rayon du cercle passant par (A et C) et tangent à (AB) en (A) - Premier point de Brocard (Q)  • 
 • Rayon du cercle passant par (B et C) et tangent à (AC) en (C) - Premier point de Brocard (Q)  • 
 • Rayon du cercle passant par (A et B) et tangent à (AC) en (A) - Deuxième point de Brocard (Q')  • 
 • Rayon du cercle passant par (A et C) et tangent à (BC) en (C) - Deuxième point de Brocard (Q')  • 
 • Rayon du cercle passant par (B et C) et tangent à (AB) en (B) - Deuxième point de Brocard (Q')  • 

Les côtés et les angles du triangle dont les sommets sont les centres des trois cercles produisant le premier point de Brocard (Q)
 • Côté (O1O2)  •   • Côté (O1O3)  •   • Segment O2O3  • 
           
 • Angle (O2O1O3) = Z2  •   • Angle (O1O2O3) = Z1  •   • Angle (O1O3O2) = Z3  • 

Les côtés et les angles du triangle dont les sommets sont les centres des trois cercles produisant le deuxième point de Brocard (Q')
.• Côté (O1O2) / Q'  •  .• Côté (O1O3) / Q'  •  .• Côté (O2O3) / Q'  • 
           
 • Angle (O2O1O3) / Q' = Z1  •   • Angle (O1O2O3) / Q' = Z3  •   • Angle (O1O3O2) / Q' = Z2  • 

Les côtés et les angles du triangle intérieur (AQB) résultant de la construction du premier point de Brocard (Q)
 • Côté AQ  •   • Côté BQ  •   • Côté AB  • 
           
 • Angle (QAB)  •   • Angle (QBA)  •   • Angle (AQB)  • 

Les côtés et les angles du triangle intérieur (AQC) résultant de la construction du premier point de Brocard (Q)
 • Côté AQ  •   • Côté CQ  •   • Côté AC  • 
           
 • Angle (QAC)  •   • Angle (QCA)  •   • Angle (AQC)  • 

Les côtés et les angles du triangle intérieur (BQC) résultant de la construction du premier point de Brocard (Q)
 • Côté BQ  •   • Côté CQ  •   • Côté BC  • 
           
 • Angle (QBC)  •   • Angle (QCB)  •   • Angle (BQC)  • 

Les côtés et les angles du triangle intérieur (AQ'B) résultant de la construction du deuxième point de Brocard (Q')
 • Côté AQ'  •   • Côté BQ'  •   • Côté AB  • 
           
 • Angle (Q'AB)  •   • Angle (Q'BA)  •   • Angle (AQ'B) • 

Les côtés et les angles du triangle intérieur (AQ'C) résultant de la construction du deuxième point de Brocard (Q')
 • Côté AQ'  •   • Côté CQ'  •   • Côté AC  • 
           
 • Angle (Q'AC)  •   • Angle (Q'CA)  •   • Angle (AQ'C)  • 

Les côtés et les angles du triangle intérieur (BQ'C) résultant de la construction du deuxième point de Brocard (Q')
 • Côté BQ'  •   • Côté CQ'  •   • Côté BC  • 
           
 • Angle (Q'BC)  •   • Angle (Q'CB)  •   • Angle (BQ'C)  • 

(QQ') ou la distance séparant le premier point du deuxième point de Brocard dans un triangle (ABC) et les valeurs métriques
des angles de projection des sommets (A,B, C) vers ce segment QQ'
 • Angle (QAQ')  •   • Angle (QBQ')  •   • Angle (QCQ')  • 
           
 

 • Distance entre (Q et Q')  • 


 
Moulin à vent ou figrue de Vecten
 

* La figure de Vecten est une construction géométrique à partir d'un triangle (ABC) habituellement rectangle [mais dans cette présentation, j'utilise n’importe quel triangle non obtusangle dans le but de généraliser l'étude métrique de cette figure, avec la possibilité, à l'introduction, d'analyser le cas spécifique du triangle rectangle].

* On obtient le moulin à vent en établissant à l'extérieur (ou à l'intérieur) du triangle (ABC) : sur le côté (AB) on construit un carré de surface égale à (AB)² ; sur le côté (AC) on construit un carré de surface égale à (AC)² et sur le côté (BC) on construit un carré de surface égale à (BC)².

* Les trois cercles circonscrits aux quatre carrés obtenus ont des centres nommés dans la présente figure (M1 pour le carré / AB), (M2 pour le carré / AC) et (M3 pour le carré / BC).
Les trois centres (M1, M2, M3) sont les sommets d'un triangle (M1M2M3). Quand le triangle (ABC) est non isogonique (non isométrique) le triangle (M1M2M3) est également non isogonique.

* Les trois segments (AM3, BM2 et CM1) reliant chaque sommet du triangle (ABC) au centre du cercle opposé ont la particularité d'être les répliques des côtés du triangle (M1M2M3) :
(AM3 = M1M2) ; (BM2 = M1M3) et (CM1 = M2M3).

* Les trois segments (AM3, BM2 et CM1) sont concourants en un seul point unique nommé (X) donc ces segments sont des céviennes dans le triangle (ABC).

* Les segments (AM3, BM2 et CM1) divisent les angles des sommets du triangle (M1M2M3) en six angles isogoniques pair par pair :
(angle CM1M3 = BM2M3) ; (angle AM3M1 = BM2M1) ; (angle AM3M2 = CM1M2).

L'addition des angles (AM3M2 + M1M2M3) = 90° degrés, et l'addition des angles (BM2M3 + M1M3M2) = 90° degrés, et enfin (CM1M2 + M1M2M3) = 90° degrés. Cela signifie que les triangles (M3N2M2, M1N4M2 et M2N6M1) sont des triangles rectangles en (N2, N4, N6) et les côtés [(M3N2 (du segment AM3) ; M1N4 (du segment CM1) et M1N6 (du segment BM2)] sont les trois hauteurs du triangle (M1M2M3) et les points (N2, N4 et N6) sont les pieds de ces hauteurs.

On peut conclure que le point nommé (X) dans le triangle (ABC) est en vérité le point de concours des trois hauteurs du triangle (M1M2M3), c'est-à-dire le point nommé habituellement 'H' ou l'orthocentre de ce dernier triangle.
Moulin à vent ou la figue de Vecten

Les trois cercles circonscrits aux trois carrés [ABYU (centre M1) - ACJB' (centre M2) - BCLA' (centre M3)]
 • Rayon du cercle (M1)  •   • Rayon du cercle (M2)  •   • Rayon du cercle (M3)  • 
           
Étude métrique du triangle ( M1M2M3) dont les sommets sont les centres des trois cercles circonscrits au carrés (ABYU, ACJB', BCLA')
 • Côté M1M2  •   • Côté M1M3  •   • Côté M2M3  • 
 • Segment AM3  •   • SegmentBM2  •   • Segment CM1  • 
           
 • Angle M2M1M3  •    =  Angle CM1M2  •    +  Angle CM1M3  • 
 • Angle M1M2M3  •    =  Angle BM2M1  •    +  Angle BM2M3  • 
 • Angle M1M3M2  •    =  Angle AM3M1  •    +  Angle AM3M2  • 
 • Angle M1N4M2  •   • Angle M1N2M3  •   • Angle M1N6M2  • 
           

Division des segments AM3 - BM2 - CM1 (chacun relie un sommet du triangle (ABC) au centre du carré opposé)
Curieusement la longueur de chacun de ses segments est égale à la longueur du côté le croisant du triangle ( M1M2M3)
 • Segment AX  •   • Segment M3X  •   • Segment M3N5  • 
 • Segment BX  •   • Segment M2X  •   • Segment M2N3  • 
 • Segment CX  •   • Segment M1X  •   • Segment M1N1  • 
 • Segment AN5  •   • Segment BN3  •   • Segment CN1  • 

La position des points (N1 - N3 - N5) de croisement des segments (AM3 - BM2 - CM1) avec les trois côtés du triangle (ABC)
 • Segment AN1  •   • Segment BN1  •   • Segment N1X  • 
 • Segment AN3  •   • Segment CN3  •     
 • Segment BN5  •   • Segment CN5  •     

[Segment (AN1) /Segment (BN1)] * [Segment (BN5) /Segment (CN5)] * [Segment (CN3) /Segment (AN3)] =  

Selon le théorème de Céva (Giovanni ou Jean - 1648 - 1734), dans un triangle (ABC), quand la formule précédente est égale à (1), alors les trois segments (AM3 - BM2 - CM1) sont concourants à un seul point (nommé dans la présente construction 'X').
Les segments (AM3 - BM2 - CM1) sont décrits comme étant des céviennes ; c'est le cas pour d'autres éléments du triangle (ABC) : ses hauteurs, ses médianes, ses médiatrices et ses bissectrices internes.

L'étude métriques des différents angles composant cette construction et nécessaires pour réaliser les calculs géométriques
 • Angle AM1M2  •   • Angle AM2M1  •  • Angle AM1M3  • 
 • Angle BM1M3  •   • Angle BM3M1  •     
 • Angle BCM1  •   • Angle BM1C  •   • Angle BN1C  • 
 • Angle ABM2  •   • Angle AM2B  •   • Angle CBM2  • 
 • Angle BCM2  •   • Angle BM2C  •   • Angle AN3M2  • 
 • Angle AM2N3  •   • Angle AM2N3      
 • Angle BAM3  •   • Angle AM3B  •   • Angle BN5M3  • 


La figure de "Vecten" suivante montre le principe de son utilisation pour approuver le théorème de Pythagore :
Dans un triangle rectangle en (C) le théorème de Pythagore démontra que [(AB)² = (AC)² + (BC)²]

Dans la présente étude métrique de la figure du Moulin à vent, quand on introduit les trois côtés d'un triangle rectangle avec le côté (AB) comme étant l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit en (C) d'un triangle rectangle ABC) on constate que la surface du carré [(ACJB') = (AC)²] est égale à la surface du rectangle (AaC1U) et la surface du carré [(BCLA' = (AC)²] est égale à la surface du rectangle (BYC1a), tout en sachant que les deux rectangles ( (AaC1U et BYC1a) forment ensemble le carré (ABYU) dont la surface est égale à (AB)².
Moulin à vent approuvant le théorème de Pythagore
 • Segment AA'  •   • Segment BB'  •   • Hauteur Ca  • 
 • Segment Aa  •   • Segment Ba  •     
 • Surface du rectangle AaC1U  •   • Surface rectangle BaC1Y  •   • Surface AaC1U + BaC1Y  • 
 • Surface du carré ACJB'  •   • Surface du carré BCLA'  •   • Surface BCLA' + ACJB'  • 

La figure suivante montre que les trois segments (Hauteur Ca du triangle ABC, le segment AA' et le segment BB')
sont concourants en un seul point nommé dans figure (X²)
Moulin à vent - Le point X2

Droite de Simson (ou Simpson Robert - 1687 - 1768) d'un triangle (ABC)

De chaque point ‘M’ du cercle circonscrit au triangle ABC, si on abaisse une perpendiculaire sur les trois côtés de ce triangle, on constate que les trois pieds de ces perpendiculaires sont toujours alignés sur une droite appelée ‘Droite de Simson’.
Pour chaque point ‘M’ du cercle circonscrit au triangle ABC correspond une droite de Simson. En multipliant la construction de l'opération, les droites de Simson obtenues recouvrent une surface plan de forme deltoïde.
Droites de Simson d'un triangle ABC
Droite de Steiner (Jakob 1796 - 1863) et ses liens avec la droite de Simpson

Droite de Steiner d'un point "M" du cercle circonscrit à un triangle (ABC) - Le point "M" est à la base de la construction de la droite de Simson.
La droite de Seiner est construit par l'homothétie du point 'M' et de rapport (2).

Le point (M1) est symétrique de 'M' par rapport au côté (AC) du triangle (ABC) ; le point (M2) est symétrique de 'M' par rapport au côté (BC) du triangle (ABC) et le point (M3) est symétrique de 'M' par rapport au côté (AB) du triangle (ABC).

La droite de Steiner passe par les trois points (M1, M2 et M3) et également par l'orthocentre (point 'H') du triangle (ABC).

Homothétie : propriété de deux figures dont chaque point de l'une correspond à un point de l'autre sur des droites menées à partir d'un point fixe appelé centre d'homothétie, la distance entre ces points correspondants étant constante.Homothétie directe, inverse. Ayant choisi un point S qu'on nomme centre d'homothétie et un nombre k qu'on nomme rapport d'homothétie ou rapport de similitude, on appelle homothétique d'un point quelconque M le point M' obtenu en joignant SM et prenant à partir du point S, sur cette droite ou sur son prolongement un segment SM' tel que SM'/SM = k (JACQUES HADAMARD , Géométrie plane,1898, page 134

Droite de Steiner et sa relation avec la droite de Simpson

Point et cercle de Miquel (1816 - 1851) d'un quadrilatère complet (ABCDEF)

* Le triangle (ABC) est traversé par la droite Δ qui croise le côté (BC) en ‘D’, le côté (AC) en ‘E’ et le côté (AB) en ‘F’. Quatre triangles sont construits : (ABC), (AEF), (BDF) et (CEF) ; ces quatre triangles forment ensemble un quadrilatère complet (ABCDEF).

* Les quatre cercles circonscrits aux quatre triangles ont un seul point commun, c’est le "Point ‘M’ de Miquel".

* Les centres (O1, O2, O3 et O4) des quatre cercles et le point 'M' de Miquel sont cocycliques (situés sur un même cercle), ce cercle est nommé le "Cercle de Miquel".
Le point et le cercle de Miquel d'un quadrilétère complet

Le point du théorème du pivot (ou théorème de Miquel) d'un triangle (ABC)

* Le triangle (ABC) est inscrit dans le triangle (DEF), ses trois sommets (ABC) sont en contact avec les côtés du triangle (DEF).
* De cette construction trois triangles sont créés enveloppant le triangle (ABC) : les triangles (ABF), (ACE) et (BCD).

* Les trois cercles circonscrits aux triangles (ABF), (ACE) et (BCD) concourent en point commun et unique, c’est le point qui fut étudié dans le théorème du pivot et démontré en 1838 par Miquel (1816 - 1851) d'où son nom dans certaines références : "Point de Miquel - Point M".
Point du théorème du pivot d'un triangle (ABC)
Auteur : Dr Aly ABBARA
aly-abbara.com
MAJ : 20 Avril, 2024
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